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有谁知道为什么FW-H积分公式中控制面的梯度模长可以设为1?

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发表于 2018-2-8 16:34:04 | 显示全部楼层 |阅读模式

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       这是一个比较理论的问题,积分公式只管用而不管为什么,让人挺纠结,希望高人解答,先谢过了!
       P. Di Francescantonio的文中给出的是“for simplicity, it is also assumed that the function fb is scaled in such a way that |Nabla_fb|=1 for fb=0”,其中fb就是封闭的控制面。

       另外,用广义函数推导出来的FW-H方程,为什么控制面与物面解绑后依然成立?
       当然,各种文献和论文里都是说“参考了Kirchhoff的思想等等”,其背后的逻辑是什么,百思不得其解。

 楼主| 发表于 2018-2-12 15:11:19 | 显示全部楼层
找到一点答案,解释为什么控制面梯度模长为1,推导过程分享给大家:
     设有一个贴体曲线坐标系(u1, u2, u3)固定在物面上,u1 u2沿物面伸展,u3沿物面法向伸展,则u3=0就表示的是物面,也有u3=const表示的是一系列平行于物面的曲面,这些曲面则可以作为计算用的积分面。
      所以积分面在贴体坐标系中的梯度模长|Nabla_fb|=|(dfb/du1)^2+(dfb/du2)^2+(dfb/du3)^2|=|0+0+1|=1, 即在贴体曲线坐标系中恒等于1。

 楼主| 发表于 2018-3-9 17:04:42 | 显示全部楼层
    最近在一个资料里看到,其实运动坐标系不必由直角变为贴体物面,因为狄拉克函数有如下公式
                                  1.jpg
   也就是说控制面梯度模长会被消掉,分子分母约掉。
   所以没必要一定要等于1,等于多少不会影响最终公式。
 楼主| 发表于 2018-3-29 09:41:58 | 显示全部楼层
    在94年Farassat的一篇总结报告(NASA NTRS)第20页中写道:

     We can always assume that f is defi ned so that |nabla_f| = 1 at every point on f = 0. If f does not have this property, then f1 = f/ |nabla_f|does. Thus, redefi ne the surface.

     假设你定义了一个球面:x*x+y*y+z*z=R*R,则f=x*x+y*y+z*z-R*R ,且|nabla_f|=2R。

     此时,可以重新定义这个球面方程(但是球面依然是原来那个球面):x*x/(2R)+y*y/(2R)+z*z/(2R)=R/2
     则 f1=x*x/(2R)+y*y/(2R)+z*z/(2R)-R/2
     那么 nabla_f1=(df1/dx, df1/dy, df1/dz)=(x/R , y/R , z/R)
     易求得其模长为1,即 |nabla_f1|=1
      
   
 楼主| 发表于 2018-4-3 17:33:12 | 显示全部楼层
关于由 Kirchhoff 公式 引申 FWH 得到 K-FWH积分公式 的几点疑问:

          无论是 K公式还是FWH 和 K-FWH 公式,绝大多数都运用广义函数H(f),即 Heaviside函数,推导出远场声压计算公式。H(f)有个特点,f<0时为0,f>0时等于1. 那么当f代表固壁面时,由此定义的广义变量 phi*H(f),在固体内部为0,在固体外部为phi。此时,数学上和物理上都能理解,因为固体内部完全无任何扰动,对于声波计算来说,可以完全等价于静止气体。
           
          但是,当控制面f=0 往外扩张推移,位于空间中且内部包含固体和一些流体时,上述理解方式貌似就行不通了!那么现在该如何理解?求指教!
         
注释:
         (1) K-FWH公式的原创提出者(暂且这么说)P. Di Francescantonio,在其文献中貌似也只是抛弃了固壁不可穿透条件(un-vn=0),即推导过程退回去一步,扔掉控制面是固壁的假设,让un-vn不等于0而是成为积分计算公式的一部分。然后就得到了可穿透的K-FWH积分公式。
          那么,其推导过程中是如何让 ”存在固壁的流场” 转化成 “无固壁的自由空间流场”的? 从而能应用“自由空间的格林函数”来求解fwh方程?                    
         (2)有一种从波动方程角度的理解方式,不知道对不对:
           首先FWH方程说白了就是一个带源项的波动方程,这点应该没有异议。那么波动方程的意义就有点像一台“传送机器”,将方程右端的源项通过方程左端的波动算子传播到远处。这样理解的话,源项可以来自固壁上,也可以来自空间中(相当于控制面脱离固壁 位于流场中),区别只是传送的起始地点不一样,可以比喻成体育运动中的接力赛跑。
           对于一个固定位置的接收点来说,传送地点离固壁近,则源较强,那么相对的传送的距离也远。反之,离固壁远,则源较弱,但传的距离短。不管远近,最终传到接收点结果都是一样的(即 衰减程度都一样)。
          基于上面两段的理解,好像就能得出:控制面位于哪,貌似是不会影响接收点结果的。
          但是这只是 “定性”理解,无物理和数学上的严格逻辑解释。
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