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纳维-斯托克斯方程奇点问题讲解—文章免费下载

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发表于 2023-9-13 06:24:47 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 窦华书 于 2023-9-13 15:22 编辑

(1)奇点的定义
英文维基百科 Wikipedia 数学上奇点的定义如下:
Singularity or singular point may refer to:
Mathematical singularity, a point at which a given mathematical object is not defined or not "well-behaved", for example infinite or not differentiable.
翻译:奇点一般指的是这样的点,在这样的点上,一个给定的数学概念(变量或者函数)未被定义,或者特性异常,例如无穷大或者不可微分。

(2) 根据数学的定义,Navier-Stokes方程的奇点应该是这样的点,在这样的点的位置,变量(u,v,w,p, 其中一个或几个)趋于无穷大,或者不可求导。

(3) Leray(1934)给出的定义是,Navier-Stokes方程的奇点为速度或动能为无穷大。数学家研究了近100年,到现在也没有人发现这类奇点是否存在。即没有肯定也没有否定。
Dou (2021,2022)所发现的Navier-Stokes方程的奇点为,此处速度发生瞬时间断(不连续),在此位置速度不可求导。两篇文章分别采用了2种不同的方法进行证明,结果相同。

(4) Navier-Stokes方程的光滑解的问题实际就是寻找Navier-Stokes方程的奇点的问题。如果严格精确地证明了Navier-Stokes方程不存在奇点,那么变量都是处处可微分的,方程可以积分,那么Navier-Stokes方程就有光滑解。如果严格精确地证明了Navier-Stokes方程存在奇点,奇点处不可求导,方程就不能积分,那么Navier-Stokes方程就没有光滑解。在此情况下,对千禧年难题给出的问题,答案已经清楚,就没有必要进行偏微分方程的复杂的数学不等式的函数证明了。

(5) Dou (2021)的文章,流体中文网2021年1月9日的帖子,已经介绍了,用能量梯度理论进行了证明。今天介绍Dou(2022)的文章,这篇文章利用泊松方程分析的概念进行了证明。

Navier-Stokes方程可以写为泊松方程的形式,Nabla^2 u(x,y,z)=Fx(x,y,z,t)。如果源项为零,则泊松方程就变为Laplace方程。对于Navier-Stokes方程来说,对平面Poiseuille层流流动,为了问题的适定性,必须定义源项Fx(x,y,z,t)不为零(这样也就是Laplace算子不为零)。在时间起始后,在扰动作用下,如果流场里存在Laplace算子为零的点,这个点就成为了泊松方程的奇点。研究从层流,到转捩流动,到湍流。我们发现转捩流动中,流场中存在Laplace算子为零的点(在拐点附近),此即奇点。所以研究结论是对转捩流动和湍流,不存在Navier-Stokes方程的光滑解。

换句话说,我们定义了对平面Poiseuille层流流动,Laplace算子不为零。在转捩流动中,在扰动作用下(此时仍是层流),流场里突然出现了变异的点,Laplace算子为零。那么这个点就成了奇点了。它跑到了原来的定义域之外去了。

Laplace算子为零的解是什么呢?是速度u=0,在边界无滑移条件下。因此,奇点的意义,已经非常明确了,流场出现了“洞”,速度分布出现了间断。在实际的流体的流动中,由于流体粘性,这个奇点的表现为速度负的spike,而不是严格地u=0。这个结果已经得到了所有获得的实验数据和DNS结果的验证。

举个例子,一个栏里,圈了100只山羊。记住,这都是山羊。突然一天,养羊的人发现其中有一只羊变异了,不是山羊了,变成绵羊了,那么这只羊就是奇点。它跑出了原来的定义域(100只山羊),跑到定义域外边去了。

最后,流场中的奇点(Laplace算子为零的点)是怎么产生的呢? 是扰动与机械能的梯度相互作用的结果,它们的相互作用,导致了速度剖面发生畸变,出现了这样的奇点。在奇点处,流体粒子消耗的机械能为零(Dou 2011有推导过程)。

(6) Dou(2022)的论文是开源的,免费下载:
Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339.  https://doi.org/10.3390/e24030339 (泊松方程方法证明奇点。这里期刊网站公开了4位匿名审稿人的评审意见,作者的答复,共2轮,可以阅读、下载。注意:这个期刊不允许作者推荐审稿人,所以所有匿名审稿人都是作者不认识的人)。

(7)参考中文科普解读:
窦华书,千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明,
https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1337452.html  或者  https://mp.weixin.qq.com/s/PxD25xbaZqBvP2-LVs5JlQ





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