[讨论]拉瓦尔喷管（Laval nozzle）中的声速究竟是什么？

coolboy

拉瓦尔喷管（Laval nozzle）是指截面积先逐渐收缩后逐渐扩张的喷管。喷管中的气体从入口处的亚声速气流渐渐地被加速成超声速气流。感兴趣的读者可思考、讨论一下如下的问题：这里的“声速”究竟是指什么（值）？为什么？

其实上述问题也基本等价于如下的问题：无量纲的马赫数是指气流速度与气体声速的比值（M=V/C），那气体的声速究竟是多少呢？为什么？

上述问题其实也同下面的问题相关：激波是波吗？为什么？

coolboy

“声速”的正确定义应该是声音在空气（气体）中传播的速度。牛顿推导出的表达式是：C=sqrt（R*T），其中R是气体常数R=287J/kg/K，T是温度。若T=287K，则C=287m/s。空气中实测的声速是300多m/s。后人导出的正确表达式应该是：C=sqrt（gamma*R*T），其中gamma=C_p/C_v=1.4是两比热系数之比。这时当T=287K时有C=340m/s，与实测值一致。

这不同声速的表达式是由于推导中采用了不同物理假设的缘故。牛顿假设了扰动变化是一个等温过程而合适的假定应该是一个绝热过程。绝热过程的假定给出了正确的结果。

coolboy

这里，大家所熟知的声音及其传播就是传统意义上的一个波动过程。C=sqrt（gamma*R*T）就是扰动的传播速度。

周华

自问自答，支持一下！

coolboy

才发现周华的注册时间是2004-12-21，而coolboy的注册时间是2003-11-14。所以，若从现在论坛给出的注册时间这一点上来讲的话，我在此论坛的资格可比周华站长还要老，真正的论坛元老。

coolboy

继续灌水：

在低速流动的条件下，流体的可压缩性可略，流体的密度可近似为常数。这时，流动的速度就根据质量连续性方程由喷管截面积的大小来决定。在截面积最小处，流体流动的速度最大。

coolboy

若喷管上游入口处的流速是v0，截面积是A0，喷管的最小截面处的截面积是A1，则不可压近似下出现在最小截面处的最大流速v1是：
v1=（A0/A1）*v0。

若流体是可压缩的，则我们可以用伯努利方程估算出可能出现的最大流速。在下一个帖子的[188楼]中已提到：

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[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程？
http://www.cfluid.com/thread-114265-13-1.html

伯努里方程中守恒的的总能量包含4项，即流体的（1）动能，（2）热能（内能），（3）压力位能和（4）（重力）位能。
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在目前的问题中，通常重力位能可略（喷管短或水平放置），对于理想气体，热能（内能）同压力位能可合到一起称为焓C_p*T，其中C_p=1004J/kg/K。

假定初始的总能量沿流线是常数：v0*v0/2+C_p*T0=常数，则可能的最大速度在气体内能为零（T=0）时达到：
v_max=sqrt（v0*v0+2*C_p*T0）。

coolboy

先回过头来讲讲推导声速表达式中所用的等温假设和绝热假设。

首先是空气本身已存在一个基本场或环境场。这基本场的压力p，温度T，密度rho，速度v等变量满足已知的物理定律。例如，压力p，温度T，密度rho之间就由理想气体的关系式确定：p=R*rho*T。这时，假如某气块某物理量（如密度）产生一小扰动偏离了其基本态，问其它变量该产生如何相应的变化？对于等温过程（T不变）来说，压力的变化就正比于密度变化。对于绝热过程来说，压力和温度都会产生相对于密度变化的非线性变化。不同假设所导出的音速有很明显的差别，实测结果证实小扰动产生的应该是绝热变化。

对于拉瓦尔喷管的这个问题来讲，我们要确定的就是基本场各变量（压力p，温度T，密度rho，速度v等）的空间分布（这里为方便起见假定是一定态问题）。所以，首先从这个意义上来讲，与小扰动传播相关的所谓的波动的传播速度并没有进入到这一问题之中。也就是说，即使求出的速度场在某一点的值刚好等于音速，人们也很难说声音的传播与拉瓦尔喷管中的流场分布有什么必然的物理联系。

换句话说，即使求出的速度场在某一点的值刚好等于音速也仅仅是数字上或表达式上的巧合，更何况其实那值还常常并非刚好是音速呢！

周华

原帖由 coolboy 于 2012-8-3 22:40 发表

                               
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才发现周华的注册时间是2004-12-21，而coolboy的注册时间是2003-11-14。所以，若从现在论坛给出的注册时间这一点上来讲的话，我在此论坛的资格可比周华站长还要老，真正的论坛元老。

加威望以表达敬仰之情！

coolboy

记得很久以前flowermoon在此论坛上每发几个帖子就嚷着要站长加威望分，其结果，越是嚷嚷得厉害就越没得加。我就只管着埋头发帖灌水，不管加分荣誉，结果站长还是明察秋毫，赏罚分明，自然而然地给我加威望分了。

coolboy

继续灌水：

上面[7楼]已给出最大速度的估算值：v_max=sqrt（v0*v0+2*C_p*T0）。若假定初始速度为零，继续假定初始温度为287K，则估算的最大速度可达v_max=sqrt（2*1004*287）=759m/s。这个值是[2楼]给出的声速C=340m/s的2.2倍。

大家有时会读到一些新闻报道，说是谁谁谁建了一个怎么了不起的风洞，风洞中的风速可达到声速的10倍、20倍、甚至30倍。这里给出的最大估算值是声速的2.2倍，这又是怎么回事呢？这可能有两个解释。在下一个帖子的[107楼]中已说到并给出了第一个解释：

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[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程？
http://www.cfluid.com/forum.php? ... p;extra=&page=8

（4）雷诺数Re=UL/[nu]中的U究竟表示什么速度？
讨论中也还提到了“伽利略变换”，意思是说牛顿力学或流体力学的方程及其解可以相差一个速度常数而不影响最后结果。那同一流场在不同的坐标系中对应于不同的速度U，难道雷诺数Re即流场的稳定及湍流特性也会变？其实雷诺数Re=UL/[nu]中的U指的是对应于流场在长度为L的空间尺度上的速度变化。对于经典的管道流动来说，根据黏性流体的无滑移边界条件，其在管道边界处的流体同管道的运动速度相同。对于静止管道或建立在管道上的坐标系，流体的边界条件就是速度为零。这时，管道中间的流体速度也就是对应于管道空间尺度（半径）上的速度变化了。
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通过“伽利略变换”，雷诺数中的速度和风洞中的速度都可以取任意值而不犯逻辑错误。说得比较完整一点则应该是速度的变化，即气流在风洞中被加速了多少。换句话说，上面那759m/s是空气经过喷管之后被加速增加的值。

第二个解释则与声速或温度的定义有关。这759m/s是原先那T=287K时的声速的2.2倍。当气流达到759m/s时，其温度已趋于0度，其相应的声速也趋于0m/s，故759m/s可以是声速的无穷倍呢！也就是说那10倍、20倍、甚至30倍的变化很有可能主要是由于声速这一基本度量单位变小了，从而比值也就自然变大了。

这么一来的话，既然拉瓦尔喷管中的气体确实可从入口处的亚声速渐渐地或即连续地被加速成超声速，那我就定义某一点刚好是你所说的是声速值的那一点为转换点。这一开始的问题（拉瓦尔喷管（Laval nozzle）中的声速究竟是什么？）岂非是一个毫无意义的或是一个病态问题？要解释清楚这个问题就要说一说数学中的“可去奇点”的概念，拉瓦尔喷管的数学问题就是一个如何解决“可去奇点”的问题。

[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-8-29 21:52 编辑 ]

通流

这个倒是有点意思。如何能够做到注册的时间比站长还早的呢？也许站长和coolboy可以写点这个论坛历史方面的情况。哪天论坛真的发达了，就可以有点东西可说了。

找到一个站长的帖子。发表于 2002-3-31 13:20。站长注册的时间是2004-12-21。没有注册也能发帖？

[ 本帖最后由 通流 于 2012-8-8 07:28 编辑 ]

通流

其实牛顿的做法可以理解。牛顿的时代，能量守恒还没有建立起来。大概（我这是猜）牛顿也是用的绝热假设。只是牛顿的绝热假设就等同于等温假设。如果大家听说过过去的热素理论，应该是比较容易认同我的猜测的。

后来有了热力学第一定律，那么绝热假设就不等同于等温假设了。可压流动的理论绝对是需要使用能量守恒的。

onesupeng

高，高，实在是高......

通流

coolboy的这个讨论还是有点意义的。我的提法可能是从波传播的角度来看马赫数和激波。
从数学上来讨论堵塞，还是有点意思的。不过我想，大部分人，包括我，并不是很明白coolboy想说的是什么。我查了一下“可去奇点”，似乎可去奇点就是一个假的奇点的意思。那么，这跟堵塞到底怎么连上了呢？