图说初等数学一直将无穷多各异直线误为同一线 ——不识“更无理”

hxl268

图说初等数学一直将无穷多各异直线误为同一线

——不识“更无理”数使初数一直将某类无穷集误为一元集

黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303  510631）

[摘要]据集合相等的定义证明了初等几何应有最最起码常识：当且仅当平移的距离=0时才能使平移前、后的图重合；从而表明初等数学一直将无穷多各异直线（平面）误为同一线（面），以及将各异函数误为同一函数。用二维图形象直观地证明了各增函数y（x）（y=x除外）的值域必≠定义域，从而让初数一直用而不知的R外标准实数一下子浮出水面；不识这类“更无理”数使初数一直将各异直线（段）误为同一线（段）从而使“已非常成熟”的初数在数与形的结合上一直存在尖锐自相矛盾。保距变换和≌图概念是数学“x光机”使人能一下子看出有外部形状相同但内部形状不相同的伪≌图形。病态的“无穷集W可～V⊂W”的症结是初数一直将≠V的集误为=V。

[关键词]等长却不等形（内部形状不同）从而不≌的伪≌直线段；初数将N（R）外数误为N（R）内数从而将伪N（R）误为N（R）；推翻百年集论；从小到大、一个不漏的每一（一切）元

教学，首先要教人学习钟南山院士敢于实事求是坚持真理的高尚品德。素质教育和研究性学习要求学生不能做分数的奴隶不能当没思维能力的复读机，而要成为有发现问题解决问题能力的人才。医学（初等数学）若将前所未知的“新冠”病毒（数与数集）误为已熟知的流感病毒（数与数集），后果...。初数中关于一次函数与直线（段）的理论是师生们不屑一顾的初数中的初数。然而集合相等的定义凸显初数一直将无穷多各异直线误为同一线，原因是：不识“更无理”数使初数出现违反集合起码常识的错误。φ（x′）=x′（x′可=x也可=x+非0常数d，等等）是初数中最简单的一次函数，然而坐标相同的点才能重合这一初数起码常识凸显初数一直将无穷多各异函数误为同一函数：φ（x′）=x′=x。初等几何有史2300多年来一直认定：有无穷多个公共点的直线必重合[据此有初中的直线公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异点有且只能有一条直线；等长的直线段必≌。然而初数的保距变换概念让中学生也能一下子认识有无穷多长度均是1却互不≌的直线段。初数一直将伪≌直线段误为≌直线段。直线A有两异元点a和b，另一直线≠A经运动变为通过a和b的直线B，据直线公理A=B，于是有“定理”：凡直线必≌。其实初数中的直线y=x变为直线y=2x是不保距的拉伸变换使变换前、后的直线不≌。由错误的公理推出的“定理”是伪定理。

一、图说集合相等定义凸显初等几何应有最起码常识：当且仅当平移的距离=0时才能使平移前、后的图是同一图——直线A沿本身平移后就≠A了

从代数角度来说至少能代表两个数的字母x就是变数，只能代表一个数的字母x是固定数（特殊的变数：其变域是一元集的变数）。变数x所取各数也均由x代表，x代表其变域内任一元。设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A。其余类推。同一字母x可代表各不同的数，同样，为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集。其余类推。“实数集”R所有非负元x≥0组成R+=｛x≥0｝，这里的x≥0不是表示x可取一切非负数而只是表示x可取R一切非负数；其余类推。R⊃N各元x有对应标准实数x+1、2x、xn（n≥2）等等。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0），因各实数都可是数轴上点的坐标所以数集A可形象化为数轴上的点集A从而使x∈R变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内（设各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的质点是同一点）即实数的改变的几何意义是g内质点的位置的改变。R可形象化为R轴。数学图形可是“离散”的点组成的点集，点集｛0，1｝中各数是点的坐标。

设本文所说集合往往是元不少于两个的集，“区间”就是课本上说的直线段（开或闭等）⊂相应数轴所有元点的坐标组成的集。定义：若数（点）集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。

c=0.0001,R各元x保距变大为y=x+c>x组成元为y的｛y｝的几何意义可是：R轴即x轴各元点x沿管道g保距平移变为点x+δ=y=x+c生成元为点y的y=x+c轴即x轴沿轴平移变为y=x+c轴（≌x轴）叠压在x轴上；R各x变为y=（1+c）x组成...的几何意义是x轴各元点x沿管道不保距平移变为点x+δ=y=（1+c）x...即x轴沿本身拉伸变换为y=1.0001x轴。其余类推。中学数学认定y轴=x轴（自有函数概念几百年来数学一直认定y=x±c（y=1.0001x）的值域=定义域），因有直线公理。其实这是违反数集相等定义的肉眼直观错觉。

数集最起码常识：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应、变换）则称A=B；若可一一对应相等或近似相等则A≈B（例｛3，5，6｝≈｛3，5，6.001≈6｝）。集各元变回自己的变换称为集的恒等变换。本文最关键的论据之一：若A与B是同一集则A必能恒等变换地变为B=A。

R各元x变为y=-x得元为y的B=｛y=-x｝=R，R、B的元可一一对应相等：x=e&#8596;y=-x=x=e，但要注意-x=x=e中等号两边的x是不相等的，此x=e，彼x=-e。上述x轴各元x与y=x+c轴各元y=x+c≈x一一对应近似相等使y轴≈x轴。各x变为y=x（y≈x）是恒等（近似恒等）变换, x轴近似恒等变换地变为y=x+c（≈x）轴≈x轴。显然R各元x只能与各对应数x+c≈x+0中的x一一对应相等而与各x+c≈x本身一一对应近似相等。可见中学的数集相等及近似相等概念表明x轴沿轴平移变为y=x+d（d是正常数）轴≠x轴，当平移的距离≈0时y轴≈x轴。当然肉眼不可察觉此事实，但下文使人凭肉眼就能察觉。注：直线段U=[0，1]&#8834;x轴（且&#8834;y=x+c轴）各元x与[0，1]&#8834;y=x+c轴各元y=x+c可一一对应相等：x=j&#8596;y=x+c=j，但要注意&#8596;两边的x是不相等的，此x=j彼x=j-c，j的变域是U。各元x=j变为y=x+c=j是恒等变换，而各元x=j变大为y=x+c>x不是恒等变换。组成整体A=｛x｝的个体x都保序变大（小）为y>（<）x形成的新整体B=｛y｝显然不能还是原整体A了，因A不能恒等变换地变为B。例：“无界”的“整数集”Ю=｛±n|n的变域是“自然数集”N｝各元±n的对应数±2n的全体B=｛±2n｝各偶数±2n保距变大为奇数±2n+1组成的G=｛±2n+1｝≠｛±2n｝了。这变换的几何意义是点集B平移距离1变为G≌B。由高矮各不同的树苗组成的集A各元都长成大树形成由大树组成的B显然≠A了；同样数集S各数都变大（小）后形成的新集显然不能还是S了。人有逻辑推理能力从而不应被“实无穷”中的假象迷惑。

点（x，y）与点（x，y′≈y）近似重合。R=｛y=x｝各元y=x是直线U：y=x各元点p（x，y=x）的纵坐标y，各p的横标不变只是纵标y=x保距变为y′=x+c≈x（正常数c≈0）就使各点p变为点p′（x，y′=x+c）得元为p′的直线V（∥U）：y=x+c≈x。U与V近似重合的原因是两线各元点的纵标y=x与y′=x+c≈x一一对应近似相等；显然若“一一对应相等”则两线必重合，所以两线不可重合形象直观地说明R各元x与各对应数x+c不能一一对应相等。现实中有的液体例白酒肉眼看是水，初数中有肉眼看是x轴的y=x+1轴等以假乱真的伪x轴。

点集A各点运动后还回到原位置是A恒等变换地变回自己，但要注意A变回自己不一定是A的恒等变换。在平移变换：x&#8596;x+常数d（&#8596;两边的x是同一x）和点（x，y）&#8596;点（x+d，y+d）中当且仅当d=0时才是恒等变换,即当且仅当d=0时各x与各对应x+d才能一一对应相等；...。同样空间点集A平移距离ρ变为B≌A，当且仅当ρ=0时才是...，ρ≈0时是近似恒等变换。所以应有：

h几何起码常识:当且仅当平移的距离=0时才能使平移前、后的图是同一图。换言之，至少有两个元点的图A平移非0距离变为B必≠A（因A不可恒等变换地变为B）——推翻直线公理和平面公理。

中学有直线的平移和伸缩变换自然就有整个平面的平移和伸缩变换，因平面由直线组成。据h几何常识复平面z平移变为z+b面≠z面（b是非0复常数）。平移前、后的直线&#8834;相应平面是否同一线不能凭肉眼直观而须用坐标法严格证明。

h定理1：⑴数（点）集A=B≌B的必要条件是A≌B。⑵直线A沿本身平移变为B≌A，当且仅当平移的距离=0时才能使A=B。

证：若A=B则A必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换。

设有中心点的直线A各元点的坐标是x从而使A是x数轴，x轴可沿本身平移变为y=x+1轴=直线B；...。A变为B=A就是A变回自己。集随元的变换而变换，点集D=｛……｝&#8834;x轴中的点要如何变动才能使变动前后的集是同一集？D各点运动后还回到原位变回自己；D各点或变回自己或与别的点相互对调位置（点集{2，3}中：2变为-2+5=3的同时3变为-3+5=2得{3，2}）；只有这两种保距变换才能使变换前后的集是同一集。所以A变为B=A只能是保距变换。D各点x到点x=0的距离|x|是变数，D各点x沿x轴方向保距平移变为点y=x+常数b就使D平移变为C={y=x+b}≌D。若D=C则显然C各元点y=x+b到点x=0的距离|y=x+b|与距离|x|必是同一距离函数，显然当且仅当|y=x+b|中的b=0时才能有|y=x+b|=|x|。同样直线A沿本身平移变为B≌A，...必是同一距离函数，当且仅当...。证毕。

初数有几百年函数“常识”：R+各元x≥0的对应数y=kx≥0（或y=xk≥0）（k是非1正常数）的全体=R+。射线R+：x≥0沿本身均匀伸缩变为元是点y=kx≥0的射线B（不≌R+）：y=kx≥0，据h定理1R+≠B；同理R+各元x≥0的不保距对应数y=xk≥0的全体≠R+。

点集U=｛...｝均匀拉伸（放大）变换为V=｛.  .  .｝（U各点彼此保序拉开了一段距离形成V）。相比下U（V）是组织结构较紧实（松散）的点集。当规定各点只能作位置改变而不能作别的改变时，均匀拉伸（压缩）变换将相比下组织结构较紧实（松散）的点集拉伸（压缩）成结构较松散（紧实）的点集。通过x光机才能看到骨头的内部形状。直线段A=[0，2]&#8834;x轴均匀压缩变换为直线段B（～A）=[0，1]&#8834;相应数轴。显然相比下B（A）是组织结构较紧实（松散）的点集，所以线段A的一半B′=[0，1]&#8834;A不≌B，因组织结构不同的两点集有不同的内部形状从而互不≌（严格证明见第6节），正如将一大包海绵碎料A压缩成一小块物体B,B不是A的一小部分一样。

平面V由一个个小正方形盘□“瓷砖”铺设而成（□各元点分别表示相应的复数），现各小□相应变大为较大的大□得一新平面W不≌V。V变为W是V的均匀放大变换。□是构建平面的元素，放大变换只能使各□变大不能使□有任何减少。稍有一点头脑的人都能看出元为大□的W与元为小□的V根本不同。复平面z均匀伸展（放大）变换为2z面不≌z面，据h定理1z面≠2z面，据下述h定理3，2z面～z面不能是z面的真子集。定义域为z面的w=f（z）=2z与定义域为2z面的w′=f（2z）=2（2z）不是同一函数，因w的自变量z与w′的自变量2z不相等。中学的平面公理使初数一直误以为2z面=z面，进而误以为w与w′是定义域与对应法则都相同的函数。

二、中学函数常识凸显初数一直将各异函数误为同一函数——自变量不同的函数不是同一函数

定义域与对应法则都相同的函数才能是同一函数，搞错定义域就会将两异函数误为同一函数，进而将两异函数关系图误为同一图。

本文的函数y=y（x）是动点p（x，y=y（x））的纵坐标：变数y=y（x），y（x）的自变量x是点p的横标，点p运动的轨迹是y（x）的函数关系图——形象地表示两变数：x与y=y（x）之间的对应关系的关系图。函数关系式y=2x中的函数即变数y与函数关系本身是两根本不同的概念。如函数的定义域不是函数本身一样，函数的对

.............................

七、结束语

科学发展的道路不能是笔直的，有时误人歧途地走弯路是难免的。以上说明：正如有理数全体远不够用那样，R远不够用，例远不能满足数形结合的需要；中学的“因R含一切标准实数故R各元x的保序对应数y=f（x）的全体必=R；...”是“以井代天”的几百年“井底蛙”误区。破除迷信、解放思想、实事求是才能使数学从“井底”一下子跃出来进入到认识“更无理”数和“更无理”的伪二重、伪≌点集的时代，从而不再被蒙在“井底”。“以严格、严密为生命”的数学在不研究无穷集有多少个元时将伪二重集看成是二重集不是什么大错，但当...时还作此简化，那就使“天才”康脱误入百年歧途地推出错上加错的更重大错误：“部分可=全部”。备注：本文是原文的压缩稿，已对原文采取法律公证等法律保护措施。

参考文献

[1]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J]，数学学习与研究，2016（5）:151。

[2]黄小宁。初等数学2300年之重大错误 将无穷多各异点集误为同一集——让中学生也能一下子认识3000年都无人能识的直线段[J];考试周刊;2018（71）:58。

[3]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。

电：13178840497    E-mail：hxn268@126.com