著名数学家朱梧槚的发现揭示不存在与其真子集对等的无穷集

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著名数学家朱梧槚的发现揭示不存在与其真子集对等的无穷集
　　　　　　　——初等几何2300年重大错误：将两异线段误为同一线段
　　　　　　　　　　　　　黄小宁(通讯：广州市华南师大南区9-303   510631）
      [摘要]因点集B≌B故“A=B却不≌B”中的“无穷集”A是自相矛盾的非集。百年病态集论的症结：⑴将自相矛盾的非集误为无穷集——朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生教授的发现；⑵2300多年初等几何和中学几百年解析几何一直将伪二重线段误为二重线段。铜线是铜分子的集合A，镀上金的铜线上的金不能成为A的子集。同样，保距变换概念揭示有附着在直线A上的直线段Z不可是A的子集，虽然Z各元点都在A上。  
　　　[关键词]貌似重合的伪二重集；推翻百年集论；著名数学家朱梧槚；保距变换
　　　　百年集论被誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。“最伟大数学家”希尔伯特断言：任何人都不能推翻集合论。然而中国著名数学家朱梧槚教授及肖奚安、杜国平、宫宁生教授却“超人”地洞察到“集合论中的无穷集都是自相矛盾的非集[1]”。这就是说“定义：可与其真子集对等的集称为无穷集”中的“无穷集”是自相矛盾的非集；换言之，根本不存在可与其真子集对等的无穷集。不少人认为这是与4位数学家身份极不相称的“怪论”。黄小宁的拙文《凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段》（数理化解题研究，2016（24））证明真正的无穷集均不可对等于其任何真子集，论据是拙文中的两个定理（见下文）。可用一图形形象直观地表示拙文的主要内容。
　　设A=｛x｝表A各元均由x代表，变数x的变域是A；A任两异元x与x+△x之间的距离是变量|△x|>0。只有两个点的点集｛点a，点b｝，设想a、b是闭直线段B的两端点，这两点绕B中任一点旋转是保距运动。A≌B≠A是说A与B只有错位的差别而无别的差别即A与B是不同地点的同一图形。至少有两元的点（数）集A保距变为点（数）集B就称A≌B——表示A与B可通过保距变换而重合。保距运动将直线段T的中心点变为新线段T′≌T的中心点。因A=B≌B即相等的图形必合同故有
　　h定理1：至少有两元的点（数）集A=｛x｝=B=｛y｝的必要条件是A≌B，这等价于|△x|=|△y|。
　　证：⑴A=B≌B时A与B的元x与y必可有一一对应关系：x↔y=y（x），在此关系下y+△y中的△y=y（x+△x）-y（x），A=B≌B说明A各元x变为y（x）（x↔y（x））组成B=｛y（x）｝=A不一定是恒等变换但一定是保距变换;由A≌B的定义A(=B)任两异元x与x+△x间的距离是|△x|=|x+△x-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|=B任两异元y与y+△y间的距离, 即|△x|与|△y|是同一距离变量。⑵A任两异元x与x′=x+△x之间的距离|△x|>0是随x与x′的不同而不同的变数，x与x′都可遍取A一切元。A={1，2，3}各元x=1，2，3。x=1时异于x=1的元x+△x=1+△x可=2与3，△x可=1与2；x=2时与其相异的元x+△x=2+△x可=1与3，△x可=-1与1；x=3时x+△x=3+△x可=1与2∈A，△x可=-2与-1。所以△x的变域是｛3，±2，±1｝，|△x|的变域是{1，2，3}。至少有两元的B=｛y｝任两异元y与y+△y间的距离是|△y|，显然若A=B则变数|△y|必=|△x|;同样，A可是任何别的至少有两元的点集，……。证毕。
　　　h定理2：若点集A（至少有两元）各元点p保距变为点p′（p）生成元为点p′的B≌A则A各点p到A任一点p0的距离ρ=ρ′=B各元点p′（p）到点p′0（p0）∈B的距离，即ρ′与ρ是同一距离函数。
　　证：设A=｛x｝≌B=｛y（x）｝，A各元点x到A任一点x0的距离ρ=|x-x0|，B各元点y（x）到点y0（x0）∈B的距离ρ′=|y（x）-y0（x0）|，由A≌B的定义ρ′=ρ；同样，A与B可是n≥2维空间图形，……。证毕。
　　复平面z=x+yi的直线z=x+0i=x可伸长成直线z=x=x′。如下图所示：复平面上的直角三角形OAB的两直角边的长均=1，斜边OA的长=。OA即直线段z=x+ix（y=x，x的变域是直线段OB⊂x轴）绕点O顺时针旋转450变为附着在x轴上的≌OA的直线段OB′=[0，]⊂x′=x轴即
　　   直线段
，式中点z′=x′=x的变域是直线段[0，]⊂x′=x轴。
    2300多年初等几何和中学几百年解析几何一直认定直线段z′即OB′= [0，]⊂x′=x轴是x轴的子集而与直线段L=[0，]⊂x轴重合。其实这是将两异直线段误为同一线段的肉眼直观错觉。理由：L=[0，]⊂x轴任两异元x与x+△x间的距离是|△x|，由x′=x知△x′=△x，OB′⊂x′轴任两异点间的距离是|△x′|=|△x|>|△x|；据h定理1L不≌OB′从而更≠OB′，虽然OB′⊂x′轴各点都在x轴上。L与OB′分别都有中心点，据h定理2也可证L不≌OB′。有人说：因x轴=x′轴故L与OB′是同一线段。其实x轴伸长成x′=x轴是非保距变换使x轴不≌x′轴从而更≠x′轴；x轴任一子集（至少有两元）中任两异元间的距离是|△x|，而OB′任两异点间的距离是|△x′|=|△x|——由此知OB′不可是x轴的子集。
　　所以L与OB′是伪二重线段，将其误为二重集使康脱推出病态的“定理”：“直线段L的部分点可与全部点一样多”；“定理”中“=L却不≌L的OB′”中的“OB′=L”显然是自相矛盾的非集，而真正的无穷集OB′≠L。
　　                                  参考文献
　　[1]朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生，关于无穷集合概念的不相容性问题的研究[J]，南京邮电大学学报(自然版)，2006（6）。
　　[2]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J]，数学学习与研究，2016（5）:151。
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涂小涂

牛

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数学需要正本清源、拨乱反正。