几何起码常识凸显数学课本有一系列重大错误——不能不重视著名数..

hxl268

几何起码常识凸显数学课本有一系列重大错误
               ——不能不重视著名数学家朱梧槚的“超人”发现
　　　　　　　　　　          黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
　   [摘要]相等的图形必合同——此几何起码常识c和区间概念使中学生也能一下子认识2500年都无人能识的R外标准无穷大、小正数以及2300多年初等几何一直未能识的等长却不合同的直线段。不识这类“更无理”的数和直线段使中学几百年解析几何一直张冠李戴地将两异点集误为同一点集，从而将无穷多各异射线误为同一线，继而产生出病态的“高深”理论：直线段的部分点可与全部点一样多；射线可≌其真子集;巴拿赫-塔尔斯基定理。
　  [关键词]貌似重合的伪二重直线段(只有重叠关系而无重合关系)；等长却不合同的直线段；用而不知的“更无理”数；推翻百年集论和百年“R完备、封闭”论；推翻巴拿赫-塔尔斯基定理;著名数学家朱梧槚；保距变换

　　百年集论被誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。“最伟大数学家”希尔伯特断言：任何人都不能推翻集合论。然而中国著名数学家朱梧槚教授及肖奚安、杜国平、宫宁生教授却“超人”地洞察到“集合论中的无穷集都是自相矛盾的非集[1]”。这就是说“定义：可与其真子集对等的集称为无穷集”中的“无穷集”是自相矛盾的非集；换言之，根本不存在可与其真子集对等的无穷集。不少人认为这是与4位数学家身份极不相称的“怪论”。文献[2]证明真正的无穷集均不可对等于其任何真子集，本文是[2]的姐妹篇。法制界有将无罪人判为死刑犯的悲剧，科教界有将百害而无一利的病态学说误为“最伟大创造”的悲剧。
　　人类认识直线（段）已有2300多年。“科学”共识：数学，尤其是“初等数学中的初等数学”：关于最简单、基本的图形：直线（段）方面的中学知识绝不可能有重大错误，更谈不上有一系列...；数学定理绝不可能被推翻。有一种很有市场的“凡是”：凡是连“小人物”也谈不上的“草根”绝不可能有重大科学发现。中央电视台有一档 “挑战不可能”节目，笔者的科研是挑战“绝对不可能”。按“橡皮几何学”观点直线段可弹性伸长。本文发现直线段A的一部分线段B⊂A弹性伸长成与A等长的直线段不≌A。人类由认识直线段到发现这类用而不知的彼此等长却无合同关系的“更无理”直线段竟须历时2300多年！但若担心广大高中生（应熟悉非常简单易懂的保距变换概念）看此文后还不能立刻认识这类直线段那就是污蔑其是弱智群体了，因“反科学”的神话般“超人”发现来自于太浅显的保距变换概念和区间概念从而可将革命道理形象直观化。
　　　1.几何起码常识c和区间概念推翻百年“R完备”论——由发现无理数到发现“更无理”的R外标准无穷小正数竟须历时2500年
　　因与x∈R相异或相等的实数均可表为y=x+△x（△x可=0也可≠0）故x变换为实数x′=x+△x的几何意义可是：R轴的元点x沿R轴方向移动变为点x′=x+△x，即实数的改变可形象化为一维空间中点的位置的改变（各点只作位置改变而没别的改变即变位前后的点是同一点）。说R轴各元点x可变换为点y=x+△x=x+1>x就是说R轴可沿轴正向平移距离1变为y=x+1轴，其余类推。直线段D=[0，1]⊂R轴各元点x沿轴平移变为点x′=x+△x=3x生成元为点x′=3x的线段[0，3]⊂x′=3x轴，各点x平移的距离是|△x|=|3x-x|；这是元点的非保距平移使D有伸长变换（相应有收缩变换）。数学的图形可是离散的点的点集。点集：……（这不是省略号）各点可作保距或非保距平移。至少有两元的点（数）集 A各元x保距（偏离原位）变为x′=x+△x生成的B≌A，当△x≡0时B=A≌A。A≌B≠A是说A与B是不同地点的同一图形。极显然：点集：.....各点任意交换位置后还是原来的点集，但点与点之间的距离变大（小）后（集的组成成员没变但组织结构变了）就不能还是原点集了。所以不改变组成成员的变距变换必改变点集的组织结构。
　　铜球是铜分子的集合A，A变形为铜版是因其组织结构变了，A平移到新位置成A′还是由移动前的所有铜分子组成的集，这移动只是改变各分子的位置而不能改变A的组成成员和组织结构。同样，保距变换是刚体运动从而不改变点集的组成成员和组织结构。设A=｛x｝表A各元均由x代表，变量x的变域是A。A任两异元x与x′=x+△x之间的距离|△x|=|x-x′|>0是关于x与x′的二元函数。国内一地图上任两大城市间的距离是一变数ρ，这图被人带到国外后图上任两大城市间的距离还是ρ而不会变为别的变数，因国内、内外的图是同一图。同理，空间图形任两异元点间的距离绝不可随图形的保距变换而变为另一变量。例复平面z=x+iy的x轴：直线z=x中任两异元点x和x+△x之间的距离是|△x|（x的变域是x轴），直线z=x绕点z=0反时针旋转θ角成直线w=zeiθ=x（cosθ+isinθ）=xcosθ+ixsinθ=X+iY≌x轴，直线w任两异元点（X，Y）和（X+△X，Y+△Y）间的距离还=|△x|（x的变域是x轴）；注：由X=xcosθ与Y=xsinθ知：△X=cosθ△x，△Y=sinθ△x。
　　　h定理1：至少有两元的点（数）集A=｛x｝=B=｛y｝（x与y可是复变数）的必要条件是A≌B（因相等的图形必合同），这等价于距离|△x|=|△y|。同样，A与B可是三维空间点集，......。
　　证：⑴A=B≌B时A与B的元x与y必可有一一对应关系：x↔y=y（x），在此关系下y+△y中的△y=y（x+△x）-y（x），A=B≌B说明A各元x变为y（x）（x↔y（x））组成B=｛y（x）｝=A必是不改变点集的组成成员和组织结构的保距变换;由A≌B的定义A任两异元x与x+△x间的距离是|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|=B任两异元y与y+△y间的距离。⑵A任两异元x与x′=x+△x间的距离|△x|>0是随x与x′的不同而不同的变数，x与x′都可遍取A一切元。A={1，2，3}各元x=1，2，3。x=1时异于x=1的元x+△x=1+△x可=2与3，△x可=1与2；x=2时与其相异的元x+△x=2+△x可=1与3，△x可=-1与1；x=3时x+△x=3+△x可=1与2∈A，△x可=-2与-1。所以△x的变域是｛3，±2，±1｝，|△x|的变域是{1，2，3}。至少有两元的B=｛y｝任两异元y与y+△y间的距离是|△y|，显然若A=B则变数|△y|必=|△x|;同样，A可是任何别的至少有两元的点集，……。
　　同样，A与B可是三维空间点集（此时点x=（x1，x2，x3），点y=（...）），......。证毕。
　　　h定理2：至少有4元的A=｛x｝的任何一部分C（至少有两元）⊂A都不可≌A。
　　证：C⊂A任两异元间的距离ρ=|△x|（x变域是C⊂A），A任两异元间的距离是ρ′=|△x|（x变域是A）；由ρ中x不可遍取A一切元知这两|△x|不是同一距离函数，据h定理1C不≌A。证毕。
　　高中有“平面内的不变直线”知识。几何起码常识c显示自有变换（函数）概念几百年来数学在变换前后的直（射）线是否为同一直（射）线的问题上一直存在重大错误：将变动了的直（射）线误为不变直（射）线。
　　设R所有非负元x≥0组成R+。R轴的射线x≥0即射线R+各元点x≥0沿轴正向非保距平移变为点x′=x+△x=0.5x≥0生成元为点x′的射线x′=0.5x≥0，中学数学一直认定变换前后的射线是同一线。其实这是违反几何起码常识c（重合相等的图形必合同）的错误，因射线x≥0收缩成射线0.5x≥0是非保距变换使收缩前后的射线不合同从而更不相等。又例xy平面上∥y轴的直线x=3（元点（x≡3，y）中y的变域是R）可伸缩变换为直线x′=x=3（y′=ky，正常数k≠1），中学几百年解析几何一直认定伸缩前后的直线是同一线；其实这是违反起码常识c的错误，因伸缩变换是非保距变换；中学“定义域为R的x′=kx（正常数k≠1）的值域=R”也是违反起码常识c的几百年错误，因R轴各元点x沿R轴方向非保距移动变为点x′=x+△x=kx生成元为点x′的x′=kx轴不≌R轴从而更…。
　　据常识c空间任一直线A沿A伸缩变换（伸缩系数k>0且≠1可取无穷多数）可变为无穷多各异直线相互叠压在一起。而几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异直线误为同一线。可见几何学对直线和平面（直线的集合）等的认识有“以井代天”的“井底”误区。所以“沿本身伸缩前后的直线是同一线”中的“直线”因违反起码常识c从而确是如上述4位数学家所说“是自相矛盾的非集”。将各异直线误为同一线自然就会将各异直线段误为同一线段（见后文）。
　　　h定理3：若点集A（至少有两元）各元点p保距变为点p′（p）生成元为点p′的B≌A则A各点p到A任一点p0的距离ρ=ρ′=B各元点p′（p）到点p′0（p0）∈B的距离，即ρ′与ρ是同一距离函数。
　　证：设A=｛x｝≌B=｛y（x）｝，A各元点x到A任一点x0的距离ρ=|x-x0|，B各元点y（x）到点y0（x0）∈B的距离ρ′=|y（x）- y0（x0）|，由A≌B的定义ρ′=ρ；同样，A与B可是n≥2维空间图形，……。证毕。
　　设射线x≥0去掉起点x=0后就成为“缺起点”射线x>0。[3]书将R轴一切正数点x组成的射线x>0称为正实轴。复平面z=x+iy的点z=0的对应点w=z2=0。[3]书208页：映射w（z）=zn（自然数n≥2）将正实轴z=x>0映射成正实轴w=zn=xn>0。说射线z=x>0的象w=zn=xn>0也是射线是正确的，但说这象=原象就违反几何起码常识c了，因映射z↔w=zn是非保距映射使象不≌原象从而更≠原象。
   “R各数x有对应标准数xn（自然数n≥2）和x+1等”。射线x≥0即射线R+各元点x沿R+正向非保距平移变为点x′=x+△x=x2≥0生成元为点x′的射线x′=x2≥0；中学几百年函数“常识”：射线x′=x2≥0与射线R+重合。其实这是违反起码常识c的错误，因变换x↔x2（可将2换为正数k≠1）是非保距变换使…。保距变换将射线的起点变为新射线的起点。射线x≥0各点x≥0到该线起点x=0的距离是x≥0而射线x′=x2≥0各点x′=x2≥0到该线起点x′=0的距离却是x2≥0，据h定理3两射线不≌从而更...。同理，在变换x2↔x4（或x6等等）下射线x2≥0（x的变域是R+）的象：射线x4≥0等等均≠射线x2≥0。可见中学数学一直将无穷多各异射线x≥0、x2≥0、x3≥0、...误为同一线。
　　正变数x≪1时x≫x2≫x3≫x4≫…>0………h
　　自由落体的高h≥0是由大到小取值的，同样...。区间[0，1]表示0与1及0与1之间所有数组成的集。线段D=[0，1]&#8834;射线R+各点x沿R+正向非保距平移变为点x′=x2生成元为点x′=x2（0≤x2≤1）的线段D′=[0，1]&#8834;射线x′=x2≥0覆盖在D上（注![0，1]与[0，1]&#8834;射线x′≥0或R+等有根本区别）；中学几百年函数“常识”：“D′=D”其实是违反起码常识c和区间概念的错误。理由：⑴D不≌D′从而更…。所以D′是几百年用而不知的点集！可见“=D却不≌D的D′”中的D′=D显然“是自相矛盾的非集”，而真正的无穷集D′≠D。同理D各点x非保距变为点x′=xk（正常数k≠1）生成元为点x′的集≠D。⑵0<…<x4<x3<x2<x<1。区间Q=[0，1]=[0，x4]∪[x4，x3]∪[x3，x2]∪[x2，x]∪[x，1]的子区间[x，1]中的变数（高等数学是研究变量的）x>0且≤1由大到小取值而由1处出发→0遍取D=[0，1]&#8834;R一切正数x时[x，1]的长由0→1地逐渐变长而长到包含D一切正数元x∈[x，1]，据区间概念和h式此时Q中包含D一切正数x的[x，1] 之外还有无穷多正数t∈[0，x），这类t是标准分析一直用而不知的“更无理”的标准无穷小正数t<D一切正数x∈[x，1]使R远不可包含一切标准正数（无穷多正数t的倒数显然也在R外），关键是x>0被限制只能在[x，1]&#8834;Q内取值。可见区间概念表明定义域为D的x′=x2≥0的值域D′中有用而不知的R外标准正数x′=x2<R所有正数——推翻百年“R完备、封闭”论。否定无理数使数学自相矛盾，否定“更无理”数使初等数学出现违反起码常识c和区间概念的尖锐自相矛盾。人类由发现无理数到发现更无理数t竟须历时2500年！但获此发现所必需的知识仅是关于区间概念方面的中学常识。可见“R各数x有对应标准数xn且R含一切标准正数”中的R因违反区间概念和...从而确“是自相矛盾的非集”。详论见文[4]，但[4]的论据应改为本文的论据。
　　以上说明对射（直）线(无穷集)的认识一直存在极重大缺陷和错误。
　　 2.区间概念让用而不知的R外标准无穷大数一下子暴露出来——推翻巴拿赫-塔尔斯基定理
　　射线x≥1与射线x′=x+1≥1有共同的起点。射线x≥0即射线R+有子部射线s（&#8834;R+）：x≥1（由R+一切≥1的元x≥1组成），射线x≥0（x+1≥1）沿R轴正向平移距离1变为≌R+的射线s′：x′=x+1≥1（△x′=△x）；射线x≥1与射线x+1≥1重合吗？流传几百年使世人深信不疑的中学“s=s′”是将两异射线误为同一线。理由：⑴据h定理2射线R+的真子集s&#8834;R+不可≌R+——说明≌R+的s′不可是s&#8834;R+。⑵s&#8834;R+任两异元间的距离是|△x|（x的变域是s&#8834;R+）而s′≌R+任两异元x′与x′+△x′间的距离是|△x′|=|△x|（x的变域是R+）≠前|△x|，据h定理1s≠s′。⑶射线s&#8834;R+各点x≥1到该线起点x=1的距离ρ=x-1≥0（x≥1的变域是s&#8834;R+)，射线s′各点x′=x+1≥1到该线起点x′=1的距离ρ′=x+1-1=x≥0（x≥0的变域是R+)，因ρ′≠ρ故据h定理3s不≌s′从而更≠s′。同理易证射线s：x≥1沿R轴负向平移距离1变为射线x-1≥0不能与R+即射线x≥0重合。
　　中学几百年“～R+的s′=s&#8834;R+”错误导致有“射线可≌其真子集”这一违反合同图形概念的病态认识，进而使康脱推出病态的“射线的部分点可与全部点一样多”。
　　对R（包含一切已知正数）各正数元x>0均有对应标准数x′=x+1>x等等，均有区间[0，x]。区间[0，x]∪（x，x′=x+1]的子区间[0，x]中的x>0由小到大遍取R一切正数x时[0，x]就长到包含R一切正数x，极显然：据区间概念在各[0，x]（x>0遍取R一切正数）之外还有“更无理”无穷大标准正数x′=x+1大于R一切正数x∈[0，x]。这表明射线s′：x′=x+1≥1中有大于R+一切元的元点x′——s不≌s′从而更≠s′的原因。所以仅由区间概念就可知射线A沿A正向平移非0距离变成的射线B≌A中有元点“更无理”地突破了A的“框框”而在A外使B≌A不可是A的真子集。否定“更无理”数使数学出现违反保距变换概念和区间概念的重大自相矛盾。所以“对加法封闭的R”中的R确“是自相矛盾的非集”而真正的无穷集R对加法不封闭。
　　x轴可伸缩成x′=x+△x=kx（正常数k≠1）轴叠压在x轴上。由-1≤x≤1得-2≤2x≤2。直线段A=｛x｝=[-2，2]&#8834;x轴的一部分线段B=｛x｝=[-1，1]&#8834;x轴各元点x变为点x+△x=x′=2x（x&#8596;x′=2x）生成元为点x′的直线段A′(～B&#8834;A)=｛x′=2x｝=[-2，2]&#8834;x′=2x轴叠压在线段A（B）=[-2，2]&#8834;x轴上即线段A的一部分线段B&#8834;A弹性伸长成与A等长的直线段A′。中学几百年“A=A′≌A′即定义域为A的x′=2x的值域=A”其实是被伪二重线段迷惑，真相是：-2≤x≤2中x的变域是A=[-2，2]&#8834;x轴，但-2≤2x≤2（x的变域是B&#8834;A）中x′=2x的变域≠A。理由：⑴由x轴≠x′轴可知A=[-2，2]&#8834;x轴与A′&#8834;x′轴不是同一线段，正如张三的左手与李四的左手不是同一手一样。⑵A=｛x｝任两异元点间的距离是|△x|>0，而A′=｛x′=2x｝（△x′=2△x）任两异元间的距离是|△x′|=|2△x|>|△x|，据h定理1A′不≌A从而更≠A。⑶保距变换将直线段U的中心点变为新线段V≌U的中心点。A=[-2，2]&#8834;x轴各元点x到A的中心x=0的距离是|x|而A′=[-2，2]&#8834;x′=2x轴各元点x′=2x到A′的中心x′=0的距离是|x′|=|2x|≠|x|；据h定理3A不≌A′从而更≠A′。所以解析几何一直张冠李戴地将A′误为A。据h定理课本上类似这样将两不合同的线段A′～B和AB误为同一线段搞错一次函数的值域的几百年重大错误比比皆是——使康脱推出病态的“直线段的部分点可与全部点一样多”；详论见[5]和[2]。所以真正的无穷集均不可对等于其任何真子集。
　　　z=x+iy面可伸展成w=f（z）=x+i2y=u+iv平面叠压在z面上（非保距变换）。数学一直认定w面=z面。其实这是肉眼直观错觉。z面任两异元点z与z+△z（△z =△x+i△y）间的距离是|△z|>0而w面任两异元点间的距离是|△w|（△w=△x+i2△y）≠|△z|。据h定理1z面不≌w面从而更…。同理在非保距变换：点（x,y）&#8596;点（X,Y）=（2x,3y）下，元为点（x,y）的xy平面的象：XY平面≠xy面。同理复变函数论中的：某非保距变换...将z平面变为自己；其实是将两异面误为同一面。...。几何学有一病态的巴拿赫-塔尔斯基定理，据此定理可推出“一颗豌豆可变成硕大无比的太阳”；据h定理1、2、3可证此“高深莫测”的“定理”的症结是将“自相矛盾的非集[1]”误为无穷集，从而将伪合同、伪重合图形误为合同、重合图形。
　　　3.将“非常高深理论”还原为非常朴实科学常识势必能大大减轻学生学习负担和缩短学制
　　学习上不能满足于只知结论不懂原理的低层次浅薄。傅种孙：“有多边形于此,截去一角所余必不与原形等积。试问何以知其然？答道‘全体大于部分’。区区6字就解决了。事实上问题并不是这样简单，须知希尔伯特费十数页的篇幅才把它解决的。”（《数学通报》1962/11，25页）——可见“全体大于部分”的正确性使希尔伯特费十数页的篇幅才能解决的问题只用区区6字就解决了。本来根据连小学生也一看就知的非常朴实的几何常识就能证明的小学数学题却要“故弄玄虚”地变为需据“非常高深理论”费十数页才能证明的大学数学题，这是典型的化简为繁、化清为浊。数学的证明中有不少类似这样化简为繁的例子（例对隐函数存在定理的证明）。这势必大大增加学生的学习负担（使“减负”成空话）和不得不延长学制。产生远远脱离实际从而对经济建设和加强国防无关的“高深莫测”“数学”的症结是对数与形的认识有惊人浅薄和极重大错误；“深入才能浅出，浅入就只能深出。”“假传万卷书，真传一句话。”“大道至简至易”，小道至繁至难。详论见[4]。
　　　4.结束语
    “区区6字就能解决”变成“费十数页才能解决”现象说明百年集论百年来浪费了亿万学生（包括物理、哲学、逻辑学专业的学生）大量宝贵时间（“时间就是金钱，…”）与精力以及亿万元宝贵学费。育人课本的重大错误造成的重大经济损失一点也不亚于经济建设的重大错误造成的经济损失，是否及时纠正与每一人的切身利益息息相关。用h定理检验知几何学2300年来一直将无穷多各种各类的伪合同、伪重合图形误为合同、重合图形从而陷入以井代天和张冠李戴的“井底”误区；不识这类比虚数更“虚”的伪合同图形使康脱误入百年歧途推出康健离脱的病态理论。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造2千载难逢的神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：一下子跃出“井底”进入到认识“更无理”的数和图形的时代从而不再被蒙在“井”里。
　　              参考文献
　　[1]朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生。关于无穷集合概念的不相容性问题的研究[J]，南京邮电大学学报(自然版)，2006（6）。
　　 [2]黄小宁。凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段[J]，数理化解题研究，2016（24）:19。
　　[3]西安交通大学高等数学教研室。工程数学：复变函数（第4版）[M]，北京：高等教育出版社,1996。
　　[4]黄小宁。著名数学家朱梧槚的发现揭示课本有一系列重大错误——发现最小、大正数推翻百年集论破解2500年芝诺著名世界难题[J]，科技视界，2014（10）：70。
　　[5]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J]，数学学习与研究，2016（5）:151。
E-mail：hxl268@163.com；电联:13178840497

hxl268

请以经过编辑的新稿为准。


法制界有将无罪人判为死刑犯的悲剧，科教界有将百害而无一利的病态学说误为“最伟大创造”的悲剧。





“反科学”的神话般“超人”发现来自于太浅显的保距变换概念和区间概念从而可将革命道理形象直观化。

hxl268

  几何起码常识凸显数学课本有一系列重大错误（改进稿）
                 ——不能不重视著名数学家朱梧槚的“超人”发现
　　　　　　　　　　          黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
　   [摘要]相等的图形必合同——此几何起码常识c和区间概念使中学生也能一下子认识2500年都无人能识的R外标准无穷大、小正数以及2300多年初等几何一直未能识的等长却不合同的直线段。不识这类“更无理”的数和直线段使中学几百年解析几何一直张冠李戴地将两异点集误为同一点集，从而将无穷多各异射线误为同一线，继而产生出病态的“高深”理论：直线段的部分点可与全部点一样多；射线可≌其真子集;巴拿赫-塔尔斯基定理。
　  [关键词]貌似重合的伪二重直线段(只有重叠关系而无重合关系)；等长却不合同的直线段；用而不知的“更无理”数；推翻百年集论和百年“R完备、封闭”论；推翻巴拿赫-塔尔斯基定理;著名数学家朱梧槚；保距变换

　　百年集论被誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。“最伟大数学家”希尔伯特断言：任何人都不能推翻集合论。然而中国著名数学家朱梧槚教授及肖奚安、杜国平、宫宁生教授却“超人”地洞察到“集合论中的无穷集都是自相矛盾的非集[1]”。这就是说“定义：可与其真子集对等的集称为无穷集”中的“无穷集”是自相矛盾的非集；换言之，根本不存在可与其真子集对等的无穷集。不少人认为这是与4位数学家身份极不相称的“怪论”。文献[2]证明真正的无穷集均不可对等于其任何真子集，本文是[2]的姐妹篇。法制界有将无罪人判为死刑犯的悲剧，科教界有将百害而无一利的病态学说误为“最伟大创造”的悲剧。

hxl268

铜球是铜分子的集合A，A变形为铜板是因其组织结构变了，A平移到新位置成A′还是由移动前的所有铜分子组成的集，这移动只是改变各分子的位置而不能改变A的组成成员和组织结构。同样，保距变换是刚体运动从而不改变点集的组成成员和组织结构。要注意：点的位置坐标与点本身是有根本区别的，例当点只作位置改变时变位前后的点是同一点，虽然变位前后的点有不同的坐标。点集由各点聚集而成。点还是原来的点，但各点聚集的方式方法不同就会形成不同的点集；正如同样的一斤黄豆将其装入一圆筒（漏斗）内各豆就聚集成圆柱（锥）体图形那样。