初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误 ——“一一配对”让中学生也能一下子...

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初等数学各常识凸显中学数学有一系列重大错误
——“一一配对”让中学生也能一下子认识5千年无人能识的自然数
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]中学的集合、数列、区间方面的基本常识凸显：①5千年无人能识：“自然数集”N有最大元Ω且N外有用而不知的“更无理”标准无穷大自然数2Ω>N一切元，使“已非常成熟”的初等数学一直将根本不是N的真子集误为N的真子集，将N的真子（扩）集误为N，将无穷多假N误为N；②2500年（人类发现无理数已有2500多年）无人能识R外还有“更无理”标准实数使初等数学有一系列将两异点集（包括直线）误为同一集、将R外数误为R内数的几百年重大错误——百年病态集论的症结。
[关键词]N有最大元;“一一对应”概念推翻百年集论；“更无理”数（推翻百年“R轴各点与各标准实数一一对应定理”）;推翻直线公(定)理；貌似重合的伪二重集；直线（段）的伸缩变换；著名数学家朱梧槚、庞加莱
一、导言：不能不重视著名数学家朱梧槚、庞加莱的“超人”论断
百年集论被誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。“最伟大数学家”希尔伯特断言：任何人都不能推翻集合论。然而中国著名数学家朱梧槚教授及肖奚安、杜国平、宫宁生教授却“超人”地洞察到集论中的“无穷集都是自相矛盾的非集[1]”。这就是说“定义：可与其真子集对等的集称为无穷集”中的“无穷集”是自相矛盾的非集；换言之，根本不存在可与其真子集对等的无穷集。以非集为无穷集的无穷集论显然是错上加错的学说。不少人认为这是与4位数学家身份极不相称的“怪论”。本文揭示数列最起码常识和集合起码常识凸显真正的无穷集必不可～其任何真子集，百年病态集论的症结：中学重大错误：N各元n的对应数n+1、2n、…均∈N。1908年富有远见卓识的世界著名数学家庞加莱提出了著名的“超人”论断：后代人将把康脱的集论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。（见张锦文等《世界数学名题欣赏●连续统假设》20页）。有过人科学洞察力的庞大师也许也“超人”地洞察到集论存在违反逻辑学常识的自相矛盾，清醒坚信：凡违反真正常识的理论必是对科学危害极大的病态理论。
集论中的N各元n均有对应标准自然数n+1和2n等等。“科学”共识：数学的公（定）理绝不可能被推翻;认识自然数已有5千多年的数学对自然数绝不可能有丝毫的认识差错（当然更绝不可能有将N外数n+1>n∈N误为N内数的极重大错误）。5千多年来数学一直未能证明存在标准无穷大自然数>N一切数（历史上有“非法”使用无穷大、小数的情况），从而一直断定：绝不可能存在这类数。有一种“凡是”：凡是连“小人物”也谈不上的“草根”绝不可能有重大科学发现。挑战各“绝对不可能”的“反科学”的“超人”发现来自于连文盲都懂的关于“配对”方面的逻辑学起码常识和数列最起码常识以及小学常识，故高中生也有能力分辨本文是歪理邪说还是数学有史五千年来的最重大发现？从而也能一下子认识5千年都无人能识的自然数。
二、“一一配对”概念让5千年都无人能识的无穷大自然数一下子暴露出来推翻百年集论——“N无最大元”违反集合起码常识
（一）数列最起码常识让“深藏”5千年的自然数一下子浮出水面——同是无穷数列，此列的项可多于彼列的项
设A=｛x｝表示A是元为x的集，A各元均由x代表，变量x的变域是A；A={（x，y）}表A是由有序数偶组成的集。任一数集A=｛x｝同时也是数偶集A=｛（x，x）｝=A∪A。由一对对数组成的数列（集）可称为数偶序列（集）。
数列（集）最起码常识e（见[2]）：若数列（集）A各数可两两配对而B各数不可两两配对则A≠B，当暂时规定集内两相等数是集的两个元时。凡违反常识e的“无穷数列（集）”必是不合逻辑根本不能存在的假数列（集）。
变数n取自然数。N=｛n≥0｝由偶数n=2p和奇数2p+1组成，p的变域L={0，1，2，...，p，...}各元p变为一对数2p、2p+1组成数偶序列（集）N=｛（0，1）（2，3）…（2p，2p+1）…｝，N的子数列（集）N+={1，（2，3）（4，5）...}=｛n≥1｝是既有数偶又有“单身”数1的混合序列；“拆东补西”地让一偶数n与奇数1配对，n的原“配偶”就成一新单身奇数，故N+中偶、奇数无论怎样重新配对后都保持有一单身奇数从而使N+不能成为数偶序列。为什么？因N+中奇数比偶数多从而使N+各数不可两两配对；可见N+一切奇数组成的无穷数列的项多于一切偶数组成的数列的项。所以应有逻辑学起码常识a：“拆东补西”不能使混合序列变为没单身项的数偶序列。故由一对对数组成的数偶列（数集）同时也是由一个个数组成的数列（集），但并非各数列（集）都由一对对数组成。
混合序列N+各数n≥1变为n-1∈N使N+变为J={0，（1，2）（3，4）...}各数不可两两配对，而N各数可两两配对，据常识eN={n≥0}≠J={n-1≥0}。包含J的N≠J说明N中必至少有一J外标准无穷大自然数Ω>无穷数列J一切数。5千年都无人能识此Ω使初等数学一直将N的真子集J误为N，使自有无穷数列、函数概念几百年来数学一直不知：某类无穷数列（有首项，可由数组和单身数组成）各数不能两两配对；从而将两异级数（数列）误为同一级数（数列）。详论见[2]。
N各数n变为其后继y=n+1>n形成后继序列（集）H={（1，2）（3，4）…（2p+1，2p+2）…}中各数可两两配对且其偶数与奇数一样多，而N+各数不可两两配对且其偶数与奇数不一样多，故H≠N+。因N+各元n≥1均是n-1∈N的后继∈H故H⊃N+，包含N+的H≠N+说明H中必至少有一N+外自然数y=n+1>n大于N一切数n。人类由认识自然数到发现这类数竟须历时5千多年！但获此发现的依据是常识e。5千年不识这类自然数使中学一直将N外数误为N内数从而将H误为N的真子集N+。
（二）集合起码常识a让5千年无人能识的N最大元等自然数一下子暴露出来推翻百年集论——小学常识否定康脱的“最伟大创造”凸显N不可～其真子集
h定理1（改偶定理）（见[3]）：各x与各y一一配对成一无穷“夫妻”有序数偶集F={（x，y）}内“男、女”双方中有“人”改配偶(新配偶必是F中人)使有的人变成“单身”后，一方出多少个单身，对方也只能出多少个单身；故各单身必可一一配对。否则必至少有一F外人“混进来”参与新配对。故若新配对使一方保持无单身而另一方出现单身那就势必有数学一直未能察觉的外人“混进来”了。
证：F中任一非“单身”改与另一非单身配为新“夫妻”各自的原“配偶”就成一对可配对的单身，一单身 “再婚”就或使对方一单身也再婚或拆散一对夫妻而生一与再婚者同一方的新单身，没别的可能。故每产生一对新夫妻的同时必生一对可配对的单身。所以定理成立。证毕。
集合起码常识a：无穷数集A的元x与B=A的元y必可一一配对成一对对数使A=B各元x同时或不同时均可有“配偶”y∈B=A，各对数（x，y）中的x与y之间的关系不受任何限制，例没规定y只能=x等等，y与x只要均是“单身”就可配对。
证：据改偶定理无穷数偶集（数集）F={（x，y=x）}中：有y任意改与≠自己的数x配为（x，y≠x）后各x、y还必可一一配对。两个数才可配对，由一对对数组成的数集F中两相等数是F内的两个数；F各数（不是各元）可两两配对。F中：有x任意改与≠自己的数∈F配对后出现新的数偶和可能出现单身数，一切新(旧)数偶和单身组成的数集还=由一对对数组成的F, 故各单身必可两两配对，因F=A∪B中的B=A故A出多少个单身x，B=A就必出多少个单身y——说明F各数x∈A必可有配偶y（可≠x）∈B。有无穷多支笔（有的是钢笔有的是铅笔）和无穷多个人，文盲都知若笔和人一样多则不论如何配对，各人都必能配到一支笔，只不过各人所配笔并非都是钢笔罢了。可见连文盲都懂的逻辑学起码常识说明无穷集A的元与B=A的元能否一一配对只与A和B是否分别包含一样多个元有关而与配对的方式方法完全无关。这说明常识a成立。证毕。
设A一部分元均由x代表另一部分元均由x′代表，“A各元x、x′均有配偶∈B=A”是说：A一部分元x均有配偶∈B=A的同时A其余元x′也必均有配偶∈B=A；断定B无单身与x′配对显然是违反集合起码常识a的错误。据常识aN各非0元和0元均可有配偶∈A=N故N={0，1，2，…，n，…}各非0元n≥1均有配偶y=n-1（≥0）∈A=N（所有配偶y=n-1∈A=N组成上述的J={0，1，2，…，n-1≥0，…}）的同时N其余元0也必可有配偶y=Ω∈A=N，这J外的Ω∈A=N显然是N的最大自然数而与1∈N相隔无穷多自然数∈N。断定J=｛y=n-1｝=A=N即断定A=N无“单身”Ω与N的0元配对显然是违反集合起码常识a的重大错误:说A=N的元与N的元不一样多。
凡违反集合起码常识a的“无穷集”显然“都是自相矛盾的非集[1]”。显然Ω和Ω±1等等均是标准分析一直用而不知的标准无穷大自然数，显然其倒数＜任何有穷正数ε是用而不知的无穷小正数。“无穷集A=B但A每一元x并非均可有配偶y∈B（y可≠x）”中的A=B因违反集合起码常识a从而确是根本不能存在的“自相矛盾的非集[1]”。
据集合起码常识a A=N各奇、偶数均可有配偶∈N，故A=N各偶数n=2p均有配偶p∈N（所有配偶p∈N组成上述的L ={0，1，2，…，p，…}）的同时A=N各奇数n=ni也必可有配偶yi（ni）∈N，这L 外的无穷多yi（i=1，2，3，…）∈N显然均是无穷大自然数∈N；5千年不识这类数使中学一直将N的真子集L误为N。断定L=N即断定N无单身yi与A=N各奇数ni配对，显然是违反常识a的错误。高等数学是研究变量的,而凡变量必有变域，变数必可遍取其变域的一切数。区间Q=[0，p]∪（p，2p]∪（2p，2p+1]中的变数p≥0由0→∞遍取L一切数p时Q的子区间[0，p]由0→∞地变长而长到包含L一切数p∈[0，p]。据中学区间概念在各[0，p]（p的变域为L）之外还有偶数2p和2p+1∈N。可见如[3]所述被限制在各[0，p]内取值的p不可遍取N一切数使其变域L≠N。人类由…到发现L外数∈N竟须历时5千多年！但若担心熟悉区间概念的亿万中学生不能认识这类数那就是污蔑其是弱智群体了。R所有非负元x≥0组成R+各元x均有对应标准实数x+1和x/2以及x2和２x等等。若用变域为N（R+）的n≥0（x≥0）替换区间Q中的p则如[4]所述据区间概念在N（R+）之外还有标准自然数（正实数）。
h定理2（见[5]）：无穷集C的任何真子集B⊂C都不可～C，换言之，若A～C则A必≠B⊂C。
证1：见[5]。证2：C各元x变为y（x）组成A=｛y（x）｝～C而有x↔y=y（x）。假设“～C的A=B⊂C”成立，则C中B⊂C各元均由x代表的同时也均可由y（x）∈A=B⊂C代表（因A=｛y（x）｝=B=｛x｝⊂C）。于是：⑴据起码常识aC各元x均可有配偶∈W=C，故C中B⊂C各元y（x）∈A=B均有配偶x∈W=C（x↔y=y（x））的同时C其余（在B⊂C以外的）元也必可有配偶∈W=C，矛盾！因W=C～A各元x均已有配偶y（x）∈A=B而无“单身”可与C其余元配对。故假设不成立即A≠B⊂C。这说明B⊂C各元x并非也均可由y（x）∈A代表即A中必有数y在B⊂C外。⑵A～C各元y（x）均有配偶x∈C后再令A方各元y（x）改与=自己的数y（x）∈B（=A）⊂C配对从而A方保持无单身，据改偶定理C方也只有0个单身，然而事实上C⊃B中B=A各元y（x）与A=B方各元y（x）配对就将A方的元配光了，从而使C⊃B其余元即C中在B外的元x∈C都不可有配偶∈A而成单身。故假设不成立即A≠B⊂C。证毕。
N各元n变为一对数2n（偶数）和2n+1组成N′={（2n,2n+1）}，n=Ω时，2n=2Ω>Ω是N外数∈N′使N′是N的真扩集。同理…。据h定理2N′={2n}∪{2n+1}中的{2n}～N和{2n+1}～N都不是N的任何真子集——说明N′≠N。
h定理3：有最小（大）元的无穷数集A各元x若均有对应数y（x）>（<）x则各y（x）并非均∈A。
证：①有最小元x=i的U各数x与V的数y配对：相等的两数配成一对（x，y=x）；无穷多对（x，y=x）组成F={（x，y=x）}中各x改与比其大的y>x配对就使（x=i，y=i）中的y=i变为不可配对的单身，因新配对法规定各x都只与比其大的y配对，而y=i是最小数而不可比任何一个x大从而不可与任何x配对。将“最小”用“最大”替换，将…改为…，同样就有配不出去的最大数。
设有最小元x=i的A各元x有对应y（x）>x。A各元x与B=A各元y一一配对成F={（x，y=x）}=A=B中各x改与>x的y（x）>x配对从而x方保持无单身但却使F中的y方（假设各y（x）∈F=A成立）至少出现一单身y=i，据改偶定理假设不成立即各y（x）并非均∈F=A而必至少有一y>x在A外。同样：
②设有最大元x=j的A各元x有对应y（x）<x。F=A=B中各x改与y（x）<x配对从而…，据…即各y（x）并非均∈F=A。证毕。
有最小元的N各元n变为y=n+1>n组成H={y=n+1}～N，据h定理3各y=n+1并非均∈N而必至少有一y在N外，据h定理2H～N不是N的任何真子集——说明≠N的H各元y=n+1>n并非均∈N而其中必有N外自然数y0=n0+1>n0∈N“更无理”地突破了N的“框框”而在N外，式中n0=Ω∈N显然是N的最大元，因其后继y0在N外。按证明存在Ω的证法易证无穷数列A={ah}中的序号数h=0，1，2，…的变域必有最大元使A有末项，从而使相应的级数有末项。所以须重新认识级数论。
去掉数偶序列（集）N∪N={（0，0），（1，1）（2，2）…}中的一个0得N+∪N={（，0），（1，1），（2，2），（3，3）...}中：各（）内逗号右边的数0，1，2，…∈N均变为1，左边的数1，2，3，…∈N+均变为-1,“,”均变为“+”得级数x=（+1）+（-1+1）+（-1+1）+（-1+1）+...（-1和1是两个项）=1+0=1而绝不可=0的原因是什么？学过负数的小学生都知原因是式中1比-1多（N有多少个数x中就有多少个1，N+&#8834;N有多少个数x中就有多少个-1）——说明N+&#8834;N的元少于N的元从而使N+不可～N。说：通过重新配对，x中的-1和1能一一配对（使所有±1的代数和=0）就是说N各数与N+各数能一一配对；若此康脱“定理”成立则x=1就不能成立，因“定理”表示x不可是一确定的数。所以人们在实际的计算推理时肯定x=1这一小学常识的正确性就是不自觉、无意识地否定了康脱的“最伟大创造”。故“x中的-1都改与其左邻括号内的1配对就能使x变为y=（-1+1）+（-1+1）+...=0”是被“拆东补西”术迷惑，殊不知拆东补西地让（-1+1）中-1与单身的+1配对，（-1+1）就变为（+1）从而使y中总有（+1）——从而使y=0+1。可见数学使人推断存在海王星，小学常识和逻辑学起码常识a使人推断y的各（-1+1）后面存在唯一的（+1）从而使y各项不可两两配对。没思维望远（显微）镜从而目光太短浅的“肉眼”数学一直被无穷对象中的假象迷惑，就如幼稚小孩以为魔术师真能无中生有那样。人有逻辑推理能力，科学“慧眼”能洞察y中有（+1）。
“真理都是很朴实的”。那些违反真正科学常识的“高深”理论必是对科学危害极大的病态理论。
5千年不识Ω使自有数集（列）和函数概念几百年来数学一直不知：有胡子的不一定是爹，由偶数2g =0，2，4，…和2g+1组成的集不一定是N而有可能是N的真子（扩）集。从而使中学将根本不是N的真子集误为N的真子集，将N的真子（扩）集误为N，将无穷多似是而非的假N误为N。区间[0，1]表示0与1及0与1之间所有数组成的集，但要注意下节表明[0，1]与[0，1]&#8834;R等，是不同的区间。
三、集合起码常识让“深藏”2500年的标准无穷小（大）正数一下子浮出水面——推翻直线公(定)理
R轴即x轴各点x沿轴平移变为点x′=x+△x=0.5x生成元为点x′的x′=0.5x轴，可将其记为0.5R轴；即x轴收缩变换为x′轴叠压在x轴上。中学几百年函数“常识”：“0.5R轴=R轴；[0，2]&#8834;R各元x的对应数y=x/2=0.5x的全体是[0，1]&#8834;R”其实是违反起码常识a地将两异集误为同一集。理由：①直线段M=[0，2]&#8834;x轴各点x变为点x′=0.5x∈D′生成元为点x′的D′（～M）=[0，1]&#8834;0.5R轴。将3斤重的一包饼干A压缩成压缩饼干B使B的体积远小于A的体积，有人以为B是A的一小部分而将其一下子吃光，结果...。这是致命错误。同样，据h定理2（此理成立的依据是起码常识a）D′～M不是M的子部D=[0，1]&#8834;M即线段M收缩成D′～M不能成为M的一部分D，中学的D′=D是使康脱误入百年歧途的重大核心错误。②有最大元的T=（0，2]&#8834;R各元x均有对应y=0.5x<x，据h定理3各对应正数y∈D′并非均∈T而必至少有一“更无理”的y<x在T外而<T一切正数x使R远不可包含一切标准正数——推翻百年“R轴各点与各标准实数一一对应定理”。所以D′&#8834;0.5R中有R外标准无穷小正数0.5x<D一切正数x使0.5R轴≠R轴。若x∈R，α是无穷小正数<R一切正数则标准实数x+α+α2就不∈R，不识α就会使中学有一系列将R外数误为R内数的重大错误。
用h定理检验知中学课本类似这样将两异区间误为同一区间的几百年重大错误比比皆是（对此，作者另有已在“预印本”上公布的长文论述），从而使康脱推出错上加错的病态理论。真正建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。但限于篇幅本文只能挂一漏万了。真正的无穷集D′≠D。
有最小元的R+各元x≥0均有对应y=x+1>x，据h定理3各y并非均∈R+而必至少有一正数y在R+外而>R一切数。故R轴各点x沿轴平移变为点y=x+1>x生成元为点y的y=x+1轴≠R轴。故直线A沿本身伸缩或平移后就≠A了。所以初中几何的“直线公理（有书“证明”这是定理）：过空间两异位置点有且只能有一条直线”其实是将无穷多各异直线误为同一线的“以井代天”的“井底”误区。
四、为伟大科学家使用无穷大、小数光辉实践正名
可见中学数学各常识使标准分析一直用而不知的N内、外标准无穷大自然数及其倒数以及R外标准无穷小（大）正数<（>）R一切正数一下子暴露出来推翻集论立论的论据:中学的：N无最大元，D′=D。否定无理数使数学自相矛盾，否定“更无理”数使初等数学出现违反中学数学各常识的尖锐自相矛盾。数学史表明没无穷数就没高等数学。“欧拉毫不犹豫地承认无穷小的数和无穷大的数都是客观存在的，并且如此纯熟地应用这些概念…[6]”。莱布尼茨:“虽然人们经常使用的只是通常的数，并没有引进任何无限小或分母无限大的数，但它们却是同时存在的[7]。”标准分析之前二千多年的数学一直“非法”使用无穷大、小数，行之极有效（百年极限论之前的二千多年数学使用该类数已取得一系列辉煌成就，“实践是检验真理的标准”），但对这类“数”一直无力实现由感性认识到理性认识的飞跃而一直解不开为何“用‘不存在’的‘数’进行推理计算竟能使欧拉、莱布尼茨及数学得到一系列正确结果”谜团，正如西医无法解开：人体“不存在”经络系统，但经千百年实践检验的中医的经络学说却为何行之极有效这一谜团一样。伟大科学家的太伟大实践往往超前理论千百年。因中医学还处于理论上还说不清的唯象论阶段故有人说其是伪科学。备注：本文已在“预印本”上公布。
                   参考文献
[1]朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生。关于无穷集合概念的不相容性问题的研究[J]，南京邮电大学学报(自然版)，2006（6）。
[2]黄小宁。证明数偶集{（1,2）（3,4）…（2n-1,2n）…}有最大数元——反复论证集有奇、偶型之分纠正课本重大错误[J]，科技视界，2014年（24）：362。
[3]黄小宁。数列、集合、逻辑学起码常识暴露课本一系列重大错误——数列起码常识否定5千年“常识”：无最大自然数[J]，科技视界，2015（32）。
[4]黄小宁。凭中学数学常识发现数学课本一系列重大错误——让中学生也能一下子认识2300年都无人能识的直线段[J]，数理化解题研究，2016（24）:19。
[5]黄小宁。真正科学常识否定5千年“常识”：没最大自然数——证实庞加莱百年前伟大科学预见推翻百年集论[J]，科技信息，2011（27）。
[6][美]爱德华著，张鸿林译。微积分发展史[M]，北京：北京出版社：1987：368。
[7][美]鲁滨逊著，申又枨等译。非标准分析[M]，北京：科学出版社, 1980:30。
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