湍流是怎样产生的? 看最新研究进展！

窦华书

        一个光滑的层流流动可以在一定的条件下转捩为混沌的湍流流动，这2种流动状态有完全不同的流动结构和流动特性，从物理学分析这应该是一种临界现象。一个湍流理论或者一个物理解释除了能够描述此现象本身以外，都必须能够合理解释这种临界现象的机理及发生条件。更重要的一点是，理论必须与实验取得一致性。如果不能与实验一致，理论的正确性就受到怀疑。如果存在一个反例，这个理论就是错误的，起码是存在重大缺陷。

表一：湍流产生的物理机理汇总

	Authors	Time	湍流产生机理	失稳原因	方法
1	Orr-Sommerfeld	1907-1908	线性失稳	小扰动放大率	小扰动方程
2	Tollmien,Schlichting	1929-1936	线性失稳	小扰动放大率	计算
3	Schubauer and Skramstad	1947	线性失稳	小扰动放大率	实验
4	Lin CC (林家翘)	1944-1955	线性失稳	小扰动放大率	渐进性分析
5	Orszag and Petera	1980	三维线性失稳	小扰动放大率	理论及计算
6	Herbert, Orszag	1984-1988	二次线性失稳	小扰动放大率	二次失稳理论
7	Trefethen, Reddy, Henningson, Schmid, Reshotko	1993-2002	瞬态增长 Transient growth	扰动幅值增长	理论及计算
8	Waleffe, Hussain, Jimenez, Henningson	1994-2005	条纹失稳 Streak instability	线性放大率	计算
9	Landau  (朗道)	1944	非线性失稳	扰动幅值增长	理论
10	Leray	1934	速度Blow up	非线性失稳，奇点	猜想
11	Moffatt and Kimura	2019	速度Blow up	非线性失稳，奇点	计算
12	Kline et al.	1967	剪切层失稳, 猝发 Burst	不稳定性	实验发现
13	Dou HS (窦华书)	2004-2022	间断-奇点，猝发 Burst	非线性失稳，奇点	能量梯度理论

                               
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图1 流场中的两类奇点。 (a) 流体速度随时间而加速，进而变为无界 Blowing up (1934年Leray猜想)； (b) 流体速度发生间断 Discontinuity (2021年窦华书根据自己所提出的能量梯度理论所发现 [1]，2022年用泊松方程分析方法再次发现 [2])。

       过去100多年以来，许多著名科学家和科学工作者，都对湍流产生的物理机理进行了研究，并提出了相关的理论及机理，见表一。表中第1至第6行，都是基于小扰动的线性稳定性理论，即Orr-Sommerfeld方程。关于湍流转捩，线性稳定性理论与大多数实验结果不能取得一致。虽然此理论有时对预测线性失稳是正确的，但是它不能用来预测湍流转捩，因为湍流转捩不是线性失稳引起的，线性稳定性理论没有反应物理上的湍流转捩这个临界条件。第7至第8行是人们经过前面多年研究，发现线性理论失败后探求的进一步的分析方法，试图用更符合数学及流动现象的理论来解释湍流，也是基于线性稳定性机理，结果也没能解释湍流的产生，也没有对湍流产生的临界条件进行研究及预测。主要原因是湍流实际上是非线性失稳导致的，而与线性失稳没有直接关系,见[4]。

       表中第9行，前苏联著名物理学家诺贝尔奖获得者Landau（1944）提出了非线性稳定性理论，来解释湍流产生，由于此理论的可行性困难较大，一直没有得到广泛应用。此理论的一个重要缺陷，就是只从研究扰动幅值的增长来研究流动是否会失稳，以及湍流是否能够发生，没有对湍流产生的临界条件给出物理解释和探索。

       表中第10行，法国数学家Leray（1934）提出了一个著名的猜想(conjecture)，流动中某个位置流体的流动速度有可能被不断加速，最后引起速度和动能unbounded (blowing up), 产生奇点(图1a)，导致湍流产生。近一百年来，许多研究者（主要是数学家）做了大量理论、计算和实验研究工作，到现在为止，也没有找到这样的Blowing up发生，但也没有否定这样的Blowing up会发生(Fefferman 2006)。Blowing up 这个术语在Leray所提的这个问题中特指的是对于流场中某个空间点，流体速度越来越快，进而速度趋向于无穷大。

      目前，国际上许多数学家利用现代数学工具，正在为找到Euler方程(无粘流动)以及Navier-Stokes方程(粘性流动)的Blowing up而努力着(如普林斯顿大学和加州理工学院的众多数学家)。文献中过去报道过的，通过直接数值模拟(DNS)发现的Blowing up，多数被发现是数值错误或者非正确的预测(见Yao and Hussain 2020里的Comments)。表中第11行，最近英国剑桥大学应用数学和理论物理系课题组Moffatt and Kimura (2019)利用Navier-Stokes方程通过对涡管碰撞和相互干扰的研究，发现流场中的涡量会产生峰值，并认为虽然数学上的奇点没有发生，这种峰值可以认为是物理上的奇点。最近美国德克萨斯工业大学课题组Yao and Hussain (2020) 通过对vortex reconnection的进一步数值模拟发现，涡量最大值随Re增长的速率远远低于模型预测的指数增长率，说明流场中这种预测的物理奇点(Blowing up)也是不可能发生的。

       表中第12行，著名实验物理学家、美国斯坦福大学教授Kline et al (1967) 通过流动可视化实验发现的边界层中的湍流猝发现象(Burst)，已经被后来的大量的实验所验证，特别是最近30年来发展起来的各种现代的快速采集技术及计算机数据处理。湍流猝发现象被发现是引起其湍流大尺度结构和间歇现象及其他湍流现象的主要原因。Kline et al (1967)的实验结果被公认为是湍流研究史上里程碑式的重大发现。

       目前，还没有什么理论能够预测和解释湍流转捩过程及完全发展的湍流中的湍流猝发现象。

表中第13行，Dou (2021, 2022)根据Navier-Stokes方程，用理论方法精确预测了湍流中的猝发现象[1,2,4]。理论证明湍流猝发是由于流场内部流动速度间断所导致的Navier-Stokes方程的奇点发生所致(图1b)。速度间断导致Navier-Stokes方程的奇点发生是层流到湍流转捩的一个临界现象。而速度间断的出现必然是基本流动与扰动之间非线性干扰发展的结果，奇点的release导致了湍流的Burst。理论与大量实验结果取得了一致，包括Kline的实验结果。根据Navier-Stokes方程，进一步证明，无论什么情况下湍流发生，速度间断所引起的奇点是湍流发生的唯一途径。至此，湍流产生的物理机理得以澄清（表1中第11-12行的实验结果及理论）。并得出定理：湍流转捩/湍流产生的必要及充分条件是流场中出现Naver-Stokes方程的奇点（即速度发生间断）[4]。

       需要指出的是，图1中的第一类奇点(Blowing up)，过去的研究结果是认为同时可以发生在粘性流动及无粘流动中（还没有得到证明）,请见Yao and Hussain (2020)里的讨论。根据窦华书（Dou 2004; Dou 2022）提出的能量梯度理论，第二类奇点（Discontinuity），只能发生在粘性流动中，不可能发生在无粘流动中（Dou 2022)。并因此得出结论：无粘流动中不可能产生湍流 [2,4]。

       最后，就图一中给出的两类奇点来说，到目前为止，没有任何实验数据的迹象表明，湍流是由于第一类奇点引起的(Blowing up)。探索Finite-time singularity （blowing up）的工作几乎没有较大进展和可接受的结论 [7]。然而，大量的实验数据表明，湍流是由于第二类奇点所致的(Discontinuity)， 包括 pipe flow, channel flow, plane Couette flow, boundary layer flow, Taylor-Couette flow, grid turbuelnce, wake turbulence, jet turbulence 等等 [4]。

参考文献

1. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553.  https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063 ;  https://arxiv.org/abs/1805.12053v10

2. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339.

https://doi.org/10.3390/e24030339

3. Fefferman, C., Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation, in The Millennium Prize Problems (eds Carlson, J., Jaffe, A. & Wiles, A.) 57–67 (Clay Mathematics Institute, 2006).

4. Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer.

https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7

（按此链接，在国内外许多大学的校园网上，可以直接免费下载全书）。

5. Moffatt, H. K., Kimura, Y., Towards a finite-time singularity of the Navier-Stokes equations. Part 2. Vortex reconnection and singularity evasion, J Fluid Mech., 870, 2019:R1.

6. Yao, J., Hussain, F., On singularity formation via viscous vortex reconnection, J Fluid Mech., 888, 2020:R2.

7. Yao, J., Hussain, F., Vortex Reconnection and Turbulence Cascade, Annu. Rev. Fluid Mech., 54, 2022:317–347.

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谢谢窦老师分享自己的最新研究成果！

onesupeng

扰动失稳必要不充分；感觉上是不是有且仅有n个定态，若是n个定态都不稳定，小扰动失稳就快充要了；若是有的是条件稳定，那么扰动能量保证都失稳，那也快充要了

说的是流动啊，不是说线性系统啊

窦华书

onesupeng 发表于 2022-6-5 20:58
扰动失稳必要不充分；感觉上是不是有且仅有n个定态，若是n个定态都不稳定，小扰动失稳就快充要了；若是有的 ...

       线性稳定性问题指的是小扰动引起的基本流动的稳定性。线性稳定性问题，一般分为四种情况；不稳定、中性、稳定、条件稳定。本人认为：一个层流基本流动，由小扰动引起的失稳，与湍流转捩没有直接关系，是互不相关的两件事情（这是许多湍流研究人员还没有认识到的事情），所以谈不上必要还是充分的问题。大量的实验数据和数值模拟数据支持了这个看法。例如，对旁路转捩(bypass transition)，线性失稳即不必要，也不充分。本人认为，一个层流基本流动在线性失稳后，一般会变为另一种层流，不是湍流，例如Rayleigh- Benard对流，Taylor-Couette流动，平板边界层流动。只有非线性失稳，才能导致湍流，例如平板边界层流动转捩的后期阶段。(注意：本人的看法与现有的文献中的传统看法是不一样的。但是，这是基于大量实验数据和DNS数据的事实)。至今，还没有找到，由线性失稳导致的湍流转捩的例子。
       根据现有的下面2种理论得到的结论是，湍流产生（或者说湍流转捩）时需要奇点。(1)根据能量梯度理论（Energy gradient theory）分析，湍流产生需要奇点产生(Discontinuity)。(2)根据动力系统理论（Dynamical system theory）的分析结果指出，湍流状态是state space里的奇点（Saddle）。这2个理论在这一点上是一致的，即湍流产生是由于流动支配方程的奇点，只是寻找奇点的理论思路不同。（3）第3种看法认为湍流产生需要奇点，但这不是理论，是一种猜想，这就是主贴里提到的Finite-Time Singularity （Blowing up），这种奇点存在不存在还很难说；过去几十年，研究人员试图找到这类奇点的努力都没有成功（针对Navier-Stokes 方程）。虽然最近10年来，有研究人员声称通过计算，找到了无粘流动(Euler)的Finite-Time Singularity （FTS, Blowing up）,这样的结果还需同行进一步确认。即使Euler方程存在FTS，也不能说明Navier-Stokes方程也存在FTS。
       线性稳定性理论预测的线性失稳，不能导致奇点，这就是线性稳定性理论不能预测湍流转捩的实质原因。一是线性失稳，没有奇点；二是湍流转捩，需要奇点；所以二者之间没有直接关系。

cuihw

流动稳定性和转捩为湍流的过程，被过度解读搞得太神秘了。
线性失稳，超过临界值，导致转捩。  就像一根压杆，可以算出线性失稳的临界值， 但是失稳后大变形，需要非线性来计算（塑性力学）。 流动稳定性和压杆稳定是类似的。

周华

cuihw 发表于 2022-6-9 18:20
流动稳定性和转捩为湍流的过程，被过度解读搞得太神秘了。
线性失稳，超过临界值，导致转捩。  就像一根压 ...

比这个复杂，转捩有好几种机制，不是只有一种。

cuihw

周华 发表于 2022-6-10 04:35
比这个复杂，转捩有好几种机制，不是只有一种。

压杆是静不稳定，我只是举线性不稳定的例子。 其实流动不稳定和弹性输水管的动态不稳定（也有临界流速，也可定一个Re类似的无因次量）更类似。 湍流只是不稳定后的破碎现象（猝发，burst etc），还是要完善线性稳定性研究， 从这个角度说，机制可能是一个， 失稳破碎现象多种多样。平板流和管流的计算临界Re与实验不符，说明线性稳定性有缺失，需要完善。

周华

cuihw 发表于 2022-6-10 17:31
压杆是静不稳定，我只是举线性不稳定的例子。 其实流动不稳定和弹性输水管的动态不稳定（也有临界流速， ...

层流失稳变为湍流主要源于集中涡的生成与增长，所以你说机制只有一个也可以但如果具体到线性失稳、非线性失稳等等这个层面则机制就有好几种。湍流研究一般将湍流分为自由湍流和受限湍流，线性稳定理论和Landau的理论适用于自由湍流（free turbulent flow），但不适用于受限湍流，包括平板流和管流。受限湍流主要是在壁面扰动作用下导致集中涡产生，集中涡如果能被粘性耗散掉则流动是稳定的，如果不能耗散掉则会出现涡与涡之间的干扰，最终导致失稳变为湍流。从这个层面说，失稳机制就不止一种了。

cuihw

周华 发表于 2022-6-11 02:12
层流失稳变为湍流主要源于集中涡的生成与增长，所以你说机制只有一个也可以但如果具体到线性失稳、非 ...

壁面扰动和涡都带有唯像色彩， 还是应该看NS方程中导致自激振动的部分（能形成负阻尼）。看弹性输水管的方程，更直观（去掉流动部分，就没有自激振动了）。O-S 方程计算结果，Recr 平板间流动（计算5772，实验约1300），管流（计算无穷大，实验2320）， 明显看出O-S方程有缺失，现有的线性稳定性理论需要改进。在连续介质力学问题中，临界值附近的线性理论都是比较准确地。不应该出现管流Recr无穷大的情况，应审视缺了什么。 失稳后的唯像观察，对研究流动稳定性有好处，也容易疑神疑鬼（朗道都出马了）。所以流动稳定性临界值不是难题， 但是失稳后的流动还是难。 就像一个水泥柱，可以计算临界压力， 但是压垮后的碎块状态，不好计算。 本人流体力学基础差，用固体力学的想法回答。

周华

cuihw 发表于 2022-6-11 17:58
壁面扰动和涡都带有唯像色彩， 还是应该看NS方程中导致自激振动的部分（能形成负阻尼）。看弹性输水管的 ...

管流失稳就是因为沿流动方向涡量分布不均匀，这是现在比较一致的解释。

cuihw

周华 发表于 2022-6-11 11:52
管流失稳就是因为沿流动方向涡量分布不均匀，这是现在比较一致的解释。

我给您私信了。

周华

cuihw 发表于 2022-6-11 21:03
我给您私信了。

看到了