纳维-斯托克斯方程奇点问题讲解—文章免费下载

窦华书

（1）奇点的定义
英文维基百科 Wikipedia 数学上奇点的定义如下:
Singularity or singular point may refer to:
Mathematical singularity, a point at which a given mathematical object is not defined or not "well-behaved", for example infinite or not differentiable.
翻译：奇点一般指的是这样的点，在这样的点上，一个给定的数学概念（变量或者函数）未被定义，或者特性异常，例如无穷大或者不可微分。

（2） 根据数学的定义，Navier-Stokes方程的奇点应该是这样的点，在这样的点的位置，变量（u,v,w,p, 其中一个或几个）趋于无穷大，或者不可求导。

（3） Leray(1934)给出的定义是，Navier-Stokes方程的奇点为速度或动能为无穷大。数学家研究了近100年，到现在也没有人发现这类奇点是否存在。即没有肯定也没有否定。
Dou (2021，2022)所发现的Navier-Stokes方程的奇点为，此处速度发生瞬时间断（不连续），在此位置速度不可求导。两篇文章分别采用了2种不同的方法进行证明，结果相同。

（4） Navier-Stokes方程的光滑解的问题实际就是寻找Navier-Stokes方程的奇点的问题。如果严格精确地证明了Navier-Stokes方程不存在奇点，那么变量都是处处可微分的，方程可以积分，那么Navier-Stokes方程就有光滑解。如果严格精确地证明了Navier-Stokes方程存在奇点，奇点处不可求导，方程就不能积分，那么Navier-Stokes方程就没有光滑解。在此情况下，对千禧年难题给出的问题，答案已经清楚，就没有必要进行偏微分方程的复杂的数学不等式的函数证明了。

（5） Dou (2021)的文章，流体中文网2021年1月9日的帖子，已经介绍了，用能量梯度理论进行了证明。今天介绍Dou(2022)的文章，这篇文章利用泊松方程分析的概念进行了证明。

Navier-Stokes方程可以写为泊松方程的形式，Nabla^2 u(x,y,z)=Fx(x,y,z,t)。如果源项为零，则泊松方程就变为Laplace方程。对于Navier-Stokes方程来说，对平面Poiseuille层流流动，为了问题的适定性，必须定义源项Fx(x,y,z,t)不为零（这样也就是Laplace算子不为零）。在时间起始后，在扰动作用下，如果流场里存在Laplace算子为零的点，这个点就成为了泊松方程的奇点。研究从层流，到转捩流动，到湍流。我们发现转捩流动中，流场中存在Laplace算子为零的点（在拐点附近），此即奇点。所以研究结论是对转捩流动和湍流，不存在Navier-Stokes方程的光滑解。

换句话说，我们定义了对平面Poiseuille层流流动，Laplace算子不为零。在转捩流动中，在扰动作用下（此时仍是层流），流场里突然出现了变异的点，Laplace算子为零。那么这个点就成了奇点了。它跑到了原来的定义域之外去了。

Laplace算子为零的解是什么呢？是速度u=0，在边界无滑移条件下。因此，奇点的意义，已经非常明确了，流场出现了“洞”，速度分布出现了间断。在实际的流体的流动中，由于流体粘性，这个奇点的表现为速度负的spike，而不是严格地u=0。这个结果已经得到了所有获得的实验数据和DNS结果的验证。

举个例子，一个栏里，圈了100只山羊。记住，这都是山羊。突然一天，养羊的人发现其中有一只羊变异了，不是山羊了，变成绵羊了，那么这只羊就是奇点。它跑出了原来的定义域（100只山羊），跑到定义域外边去了。

最后，流场中的奇点(Laplace算子为零的点)是怎么产生的呢? 是扰动与机械能的梯度相互作用的结果，它们的相互作用，导致了速度剖面发生畸变，出现了这样的奇点。在奇点处，流体粒子消耗的机械能为零（Dou 2011有推导过程）。

（6） Dou(2022)的论文是开源的，免费下载：
Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation, Entropy, 2022, 24, 339.  https://doi.org/10.3390/e24030339 （泊松方程方法证明奇点。这里期刊网站公开了4位匿名审稿人的评审意见，作者的答复，共2轮，可以阅读、下载。注意：这个期刊不允许作者推荐审稿人，所以所有匿名审稿人都是作者不认识的人）。

（7）参考中文科普解读：
窦华书，千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明，
https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1337452.html  或者  https://mp.weixin.qq.com/s/PxD25xbaZqBvP2-LVs5JlQ