[分享][原创]交通流流体模型的建模思想和数值模拟分析（Zhangpeng）

Zhangpeng

我的研究本行为Hyperbolic conservation laws，一直师从中科大刘儒勋老师，研究方法和内容深受Brown的C.W Shu教授影响。最近两年在戴世强教授门下做博后，近年来主要与港大S.C Wang博士合作开展研究。这几天才开始浏览交通流论坛，觉得有些话题可以一起讨论，与大家分享。
有网友可能觉得我的文章很长，而且不太好读，其实我也有同感。我（们）的三篇文章：
1、《Hyperbolic conservation laws with space-dependent flux: I Characteristics theory and Riemann problem》（J. Comput. Appl. Math. 156 1-21），
2、《Hyperbolic conservation laws with space-dependent flux: II General study on numerical fluxes》（J. Comput. Appl. Math. 176 105-129）
3、《Hyperbolicity and kinematic waves of a class of multi-population partial
differential equations》（European Journal of Applied Mathematics, in press）
都是吐血之作。
上述前两篇主要是针对流通量含有空间变量函数（或认为流通量为空间间断）的Hyperbolic conservation的一般问题，第一篇主要研究“analytical”方面，第二篇为numerical方面，由Riemann准确解推广出一般的近似Riemann解，用于数值计算中的流通量构造。这对于该类问题的数值理论和方法具有重要的意义。这一类问题应用十分广泛，如水波问题，弹性波问题，多孔介质渗流问题等。LeVeque在这一方面做得较多，尤其是应用于弹性波问题。事实上，我们在上述两篇文章的基础上推广的所谓delta mapping算法应用于弹性波的文章（将发表在Applied Numerical Mathematics），主要参考LeVeque的算例，也得到他本人的诸多评论性指导和修改建议。我们的算法与LeVeque的wave propagation method的主要区别是，我们是先做非线性的mapping，将方程“标准化”，而LeVeque等的算法则首先将方程线化，再利用线性方程的准确Riemann构造数值流通量（当然高阶格式一般要加Limiter）。LeVeque在看到这篇文章时，一眼就看到其合理之处是利用了流通量在接触间断的连续性。换言之，我们的数值格式与定常流相容。当然，LeVeque的算法也有同样的性质。然而，他们的格式不适于交通流问题，因为算法假定了所有的特征速度必须恒为正或负。而在交通流（流体）模型中，（无论什么模型）其第一特征速度必须是变号的，否则将无法描述堵塞的向后传播（无论是走走停停波还是一般的激波）。想来LeVeque教授应该同意我的说服。
交通流流体模型中一直很少考虑车道数与畅行速度随空间和时间改变，我认为主要是在这一领域一直难以解决算法问题（Newell和Daganzo推广了LWR模型，这里不做评述）。实际上，考虑这一问题绝不是凭空制造问题。首先，车道数的改变和道路条件变化引起的畅行速度（或通行能力）改变是客观的物理现实，其次，某些扰动的结果可以描述为该路段在一定时间时间范围的通行能力下降。当这些扰动消除之后，（例如在高阶模型中）可以引起走走停停波；参看P. Zhang, R.X. Liu, and S.C. Wong, High-resolution numerical
approximation of traffic flow problems with variable lanes and
free flow velocities, Phys. Rev. E, 71, 056704 (2005)。当然，如何运用畅行速度的变化来描述复杂的交通现象，仍有许多值得深入研究和讨论的问题。不过还是需要说明一下，以上我们的PRE的模型还是有些特殊性，因为主要是考虑算法的可适用性。对于一般的（考虑道数与畅行速度随空间和时间改变高阶交通流）方程，我们当然首先考虑以上提到的delta mapping算法，不过对一般的方程组，算法可能是隐式的，需要用到迭代。我会考虑一种替代的显式算法，这对其它问题可能会容易些，但对交通流，因为第一特征速度变号，可能较难。所以，我热忱欢迎做交通流研究的朋友能够沿着这一方向做下去（我很累）。顺便指出，如果将传统的算法（TVD，WENO等）直接用于所述类别交通流问题的计算，很难得到稳定的结果，这在我们的一系列文章中都有详述。此外，如果提出的模型不能得到有效算法的保证，很难说这个模型是否合理。简言之，实测（现象）、模型（的适定解）以及数值解应该一致。对于确定性模型，如果说不同的算法得出不同的结果，那是很荒唐的。对于高阶模型中的不稳定情形可能有些例外，但最终收敛的结果也必然具有一些基本的共同特征。这里不展开讨论。
以上第三篇文章较为完整地做了S.C. Wang他们Multiclass模型地数学理论，简单讲，即证明了方程的Hyperbolic性质，证明和描述了Riemann问题中过稀疏波和激波的密度单调性变化。后一问题证明的难度主要是由于特征值和特征向量是隐式。文中的数值模拟主要是验证理论结果，创新之处是给出了最大特征值绝对值的最近似判断（准确值不可能得到）。从物理的角度，这篇文章解释揭示出第二至第m特征场以及对应的m-1个波是由超车引起，而第一特征场以及对应的波反映了下游对上游的总体的影响，同时解释了由这些特征场导致的压缩现象。最近一篇JCP的文章（P. Zhang, S. C. Wang and C.-W. Shu, A weighted
essentially non-oscillatory numerical scheme for a multi-class
traffic flow model on an inhomogeneous highway, J. Comput.
Phys., 212 739-756）将Multiclass与inhomogeneity结合，描述了Riemann问题并给出数值模拟。当然，multiclass模型本身还存在一些不足甚至是不尽合理的成分，不过希望我们的工作能够为这类模型的进一步发展和完善提供有用的数学和计算理论基础。
其实，对于高阶模型也存在很强的hyperbolic弱阶理论的应用。我们以姜锐和吴老师的模型为例（这一模型简单易行），理论上证明了其走走停停波（traveling wave solution）的存在，确定了wide cluster 的（向后）传播速度以及传播时的最大和最小密度，并与数值结果吻合；参见Zhang Peng, Wong S.C, and Dai Shi Qiang, Characteristic Parameters of a Wide Cluster in a Higher-Order Traffic Flow Model， to appear  in Chinese Physics Letters。需要提醒的是，以往许多关于走走停停波的数值模拟（包括我在上述PRE文章中的算例）可能都有问题，因为我们是取十分小的网格（10000）才得到与解析值接近的结果。如果网格太大（例如100），由于数值粘性的作用，其波峰将在很大程度上被抹平。应该发展一种数值算法减少数值粘性，使较大网格也能取得与解析值接近的数值效果。谁如果有兴趣，可以试试。
不知不觉写了很多，再聊！
张鹏

水寿松注：帖子主题原来没有，现在添加了一下，其余微动，有什么不妥地方请再指出！

[ 本帖最后由 水寿松 于 2009-4-27 21:16 编辑 ]

Zhangpeng

先上传这篇PRE的文章。欢迎批评指正。

tangtieqiao

国内在交通流数值计算方面研究最突出的专家应该是张鹏教授、刘儒勋教授和S C Wong教授，但主要工作可能小张教授做的。张教授原来一直从事有限元研究，所以很快就出大成果了。目前，国内交通流数值还比较薄弱，但我相信在张教授的带领下，我们很快就可以挤进国际前沿。此外，我相信张教授的研究将会促进我国交通流数值计算的迅速发展，从而带动国内其他研究团体的研究。

Zhangpeng

这篇文章将发表在Chinese Physics Letters可能更容易看一些，而且结论较为重要，主要是应用了弱阶理论的结果，即Rankine-Hugoniot间断条件确定高阶模型中wide cluster的特征参数。其实Jiang，H.M.Zhang和Xue模型都可以写成类似Aw模型的守恒形式（左端项都是Aw模型的特例，当然可以写成一样的守恒形式），但是我大致看了一下，Xue的模型应该没有行波解，而H.M.Zhang的模型可能也做不出来。各位若有兴趣，可以按我文章中给的方法试试（也可能是我没有深入，说错了）。有什么心得可以一起讨论。

tangtieqiao

对不起，我开始不小心多打了一个字，所以在此纠正一下，“国内在交通流数值计算方面研究最突出的专家应该是张鹏教授、刘儒勋教授和S C Wong教授，但主要工作可能张教授做的。张教授原来一直从事有限元研究，所以很快就出大成果了。目前，国内交通流数值还比较薄弱，但我相信在张教授的带领下，我们很快就可以挤进国际前沿。此外，我相信张教授的研究将会促进我国交通流数值计算的迅速发展，从而带动国内其他研究团体的研究。”

宋涛

张老师在国内期刊上发表的文章见下，应该全了，不过2004年沪港力学会议上的那篇会议文章好像没有查到。
红绿灯间断模型与特征线求解，张鹏、刘儒勋，昆明理工大学学报2000年3期
交通流模型的分析评价与模型的改进，张鹏、刘儒勋，昆明理工大学学报2000年04期
交通流问题的有限元分析和模拟(Ⅰ)，张鹏、刘儒勋，计算物理2001年04期
交通流问题的有限元分析与模拟(Ⅱ)，张鹏、刘儒勋，计算物理2002年02期
交通流问题的有限元分析与模拟(Ⅲ)，张鹏、刘儒勋，计算物理2003年02期
δ_Mapping Algorithm and Its Applicationin Traffic Flow Problems with Inhomogeneities，张鹏、刘儒勋、戴世强，Journal of Shanghai University2003年04期
二相交通流LWR模型的理论分析与数值模拟，张鹏、刘儒勋、戴世强，中国科学技术大学学报2005年01期
多等级交通流LWR模型中的非线性波描述与WENO数值逼近，张鹏、戴世强、刘儒勋，应用数学和力学2005年06期
另外，刘儒勋教授课题组的除了zhang的paper以外，还有一篇：
The discontinuous finite element method for red-and-green light models for the traffic flow，Ru-Xun Liu, Hong Li, Zhi-Feng Wang，Mathematics and Computers in Simulation 56 (2001) 55–67
不过Dr.Tang的话“张教授原来一直从事有限元研究，所以很快就出大成果了。”这句话挺有意思啊！还请还要张老师自己评价一下才行，呵呵！

Zhangpeng

回宋涛和tangtieqiao：
宋涛列出我比较早期（前五篇是博士前）的工作，其实较肤浅，不提也罢。用一般有限元处理一维问题，意义不是很大。用一般有限元解Hyperbolic问题，目前还不能很好地处理间断。所以我后来不做了。不过目前有用有限元做交通中的distribution问题的，细节我不是很清楚；S.C.Wong博士做二维问题。
间断有限元与一般有限元有本质差别，主要是借助有限元中的弱解变分形式。在一般有限元中，在每个unit的边界解函数被视为连续。而在间断有限元中，这些边界被视为间断。所以后者适合Hyperbolic问题，因为间断是Hyperbolic问题的最重要的特征。
以上只是个人观点，欢迎共同讨论。

东强

国内领先，国际先进

宋涛

附件文章为此：ADMISSIBILITY OF A WIDE CLUSTER SOLUTION IN“ANISOTROPIC” HIGHER-ORDER TRAFFIC FLOW MODELS，SIAM J. APPL. MATH.  Vol. 68, No. 2, pp. 562–573，2007
上文得到了判定“各向异性”高阶交通流模型是否存在稳定的宽幅集簇的一个必要条件，由此得出了现存的有些模型不能描述上述走走停停的行波解的结论。特别地，通过对存在两个控制参数的Aw-Rascle模型的研究，指出：对于可以存在稳定的宽幅集簇的模型，代表低密度的平衡态可以位于不稳定区域，并且首次发现允许存在一个或三个临界密度。

宋涛

附件文章为此：Asymptotic solution of a wide cluster in KÄuhne';s higher-order traffic flow model, C.X. Wu, P. Zhang, S.Q. Dai and S.C. Wong, the 5th International Conference on Nonlinear Mechanics, Ed. by Chien WZ et al., Shanghai University Press, 2007, 1132-1136.
上文运用渐近分析理论中的边界层方法，研究一般宏观高阶模型的确定集簇现象的特征参数的方程，验证了弱解理论所得出的结论，建立了关于该问题的渐近分析理论和弱解理论之间的联系。

宋涛

还有一篇06年的：Zhang Peng, Wong. S.C, Dai Shi-Qiang, Characteristic parameters of a wide cluster in a higher-order traffic flow model, Chinese Physics Letters, 23(2)2006,516-519
帖子：[推荐]确定高阶模型wide cluster 解析解的一般方法（http://219.232.54.3/cgi-bin/LB5000/topic.cgi?forum=42&topic=632）已有，应当算是首次运用弱解理论对交通流高阶模型集簇现象进行了简洁、准确的数学描述，给出了确定高阶模型wide cluster解析解的一般方法。
1和4楼都有介绍，就不多说了！

宋涛

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-- 作者： webmaster
-- 发布时间： 2007/05/18 04:28pm

张鹏硕士和博士师从中国科大刘儒勋教授，在CFD基础理论研究方面有较深的造诣。其研究深受著名守恒律专家C.W. Shu教授影响，是我国较早接触现代守恒律数值计算理论（DG和WENO格式等）的学者，其研究主要以交通流问题为应用背景。现在上海大学应用数学与力学研究所（戴世强交通流课题组），并长期与香港大学S.C. Wong教授（交通流科学专家）合作。根据研究业绩，其研究生将被鼓励到香港大学或其它国外大学进行合作访问，硕士生将被鼓励到香港大学或其它国外大学攻读博士。下面是张鹏博士寄来的个人信息：

张鹏，男，研究员，博士。专业：流体力学。主要研究领域：双曲守恒律方程理论及其应用；交通流数学和数值计算理论。1984年毕业于四川大学数学系（本科），2003年毕业于中国科学技术大学数学系（博士）。近年来，与香港大学S.C. Wong教授合作密切，共同获得国家自然科学基金“海外、港澳青年学者合作研究基金”（城市道路和网络交通的数学建模和优化理论：70629001）资助；被香港大学聘为Research Associate，Senior Research Assistant。获得（戴世强课题组）国家科技部973项目（大城市交通拥堵瓶颈的基础科学问题研究：2006CB705503）和国家自然科学基金重点项目（城市交通系统的非线性动力学特性研究：10532060）资助。近几年来，在J. Comput. Phys.,   Euro. J. Appl. Math., Numer. Meth. Partial Diff. Equ.,   SIAM J. Appl. Math.,  Appl. Numer. Math.,  J Comput. Appl. Math.,  Phys. Rev. E等国际著名学术期刊发表论文十多篇。其它研究兴趣包括水波方程的数值计算，流体和固体中普遍存在的接触间断数值计算，等等。目前所招博士生拟研究问题：（1） 交通网络流体力学建模及数值方法；（2） 交通行人流体力学建模及数值方法。
E-mail: pzhang@mail.shu.edu.cn,  pengzhang@ustc.edu .



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