[讨论]用非标准分析方法封闭湍流方程（吴峰）

周华

在10月6日晚第九届现代数学与力学会议的非正式讨论会上，中国科技大学的吴峰教授提出一种湍流研究的新观点，经吴老师同意现在拿到这里供大家讨论。下面是我摘录的吴老师的主要观点，如有不准确的地方请吴老师和听过吴老师讲解的老师同学们指正。因为吴老师觉得这种观点尚不成熟，有很多补充工作需要做，所以希望各位对湍流研究感兴趣的朋友们能提出自己的意见和看法：
在流体力学中有一个重要概念叫做“流体微团”，根据经典教科书的解释，“流体微团”具有“宏观无限小，微观无限大”的特点，即流体微团在宏观上看应该能够被当作一个点来处理，而在微观上又包含了足够多的点，以便满足连续性假设。吴教授通过非标准分析的方法对此给出一种数学解释。这种非标准分析方法首先在实数集R上引入无穷小e和无穷大L，然后在每个实数附近都定义一个“单子”，这个“单子”以实数点为中心，以e为半径，以这种方式实际上在实数集中构造了一系列有结构的点，而这个点就对应于我们说的“流体微团”。
有结构的点定义完毕后，实际上就得到了实数层、单子层两个不同尺度的空间层次，从物理角度看，单子层相当于一个介于宏观和微观之间的层次。每个单子中包含了足够多的流体分子，同时从宏观上看又足够小。在单子内部物理量存在统计力学意义上的涨落，但是这里假设各种物理量的变化是连续的。关于这条假设，吴教授引用了北大佘振苏教授的一个实验结果，即在微小空间和时间尺度（1/48000秒）内，湍流物理量的变化是连续的。吴教授又假设相邻单子间物理量的分布形式是同构的，即曲线形状的变化也是连续的。
在做过上述铺垫后，吴教授引入“点平均”概念，即物理量在单子上的平均，并由此得到脉动物理量的一种分解方法，即分解成平均量和脉动量之和。与雷诺分解不同的是，雷诺分解是时间平均，这里是点平均（空间平均）。
以“点平均”和单子连续假设为基础，可以得到单子上的脉动量为一阶无限小这样一个结论。以此为起点，吴教授重新推导了湍流方程，并最终得到一个没有雷诺应力项的湍流方程，因而这个方程自动封闭。湍流方程的推导过程与RANS方程的推导完全一致，关键在于物理量的分解由雷诺的分解方式变成了以“点平均”为基础的分解方式。
就此问题吴教授曾经在《中国科技大学学报》2002年12月第6期上发表《湍流的本质及湍流方程的封闭》一文，同时在2003年将文章《Nonstandard Picture of Turbulence》放在了洛斯阿拉莫斯实验室的服务器上，地址是：
http://arxiv.org/PS_cache/physics/pdf/0308/0308012.pdf
因为涉及到湍流这个敏感话题，吴老师曾经在北大、中科院力学所跟其他做湍流研究的老师进行过探讨。同时因为赞同和反对的声音都存在，所以这次在MMM9上吴老师又一次以非正式讨论的形式向大家提出这种看法。这类探索性的研究在取得初步成果的时候慎重一些也是对科研工作负责任的一种态度，所以我们流体中文网也希望感兴趣的朋友能就此话题进行讨论，以表达我们对湍流方面的研究工作的支持。

周华

这是本站第一次就某位老师的工作发起正式的公开评论，请诸位朋友发表自己的看法。如果哪位老师、同学希望发布自己的研究成果供大家评论探讨，可以与我联系。我们发动公开评论的唯一标准是您的工作需要有一定的创新性。
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baal

              

周华

多谢楼上支持！

飘风

我不明白的是这个点平均的“点”到底指什么？
N-S方程是基于流体微团，这个微团的性质相当于其中无数分子的统计量，它足够大以至于可以不受到分子涨落的影响。
而湍流脉动，我认为是个宏观概念，它与分子涨落应该可以在尺度上分开来。湍流不仅在时间序列上是随机脉动的，在空间序列上也是很不规则的。那么到底对多大的空间尺度进行平均才能具有代表性，而不会显著地受脉动涨落的影响呢？这是个不好回答的问题。

对月

RANS使用的是系综平均啊！

rabbitpig

不管怎么平均，由对流项所引起的非线性是不可能通过平均消除的，必然要在平均方程中多出一项，即雷诺应力。如果不显式地写出这一项，必然要隐式对待。隐式处理实际上是不可能的，无法导出这一方程。正如吴教授的论文里面，引入了脉动速度的方程，注意，这一方程是定义在单子流动上的，事实上给不出单子流动的初始条件和边界条件。

周华

根据我对吴教授工作的理解，他的基本理论是这样的：他所谓的“点”其实是个有结构的点，即在宏观上看是一个数学的点，但是他通过非标准分析的方法定义了一个“无限小”e，而其所谓的点则是一个实数点比如说点a与其周围一个无限小邻域的开区间，即{a-e,a+e}。在这个小区间上可以考虑物理量的涨落，但是因为这个区间非常小，所以可以认为其涨落值比如速度的涨落u'是一阶无限小量，即u'~O(e)。就因为有了这个结果，原来的雷诺应力项就变成无限小而被略去。而雷诺在做平均时是在宏观尺度上考虑的，所以u'可能不是无限小，因此就出来一个雷诺应力。这就是点平均的概念导致的结果。从物理角度上看，吴教授的点可能是一个非常小的微体，比如只有10的负3次方厘米，在这个微体内有足够的流体分子供统计平均用，但同时在宏观上又足够小（连续且物理量分布在相邻微体间连续变化）。吴教授用这个数学模型来描述流体力学中的“流体微团”的概念，并提出两层空间的概念，即流体运动的宏观空间，和流体微团的微尺度空间。通过结合这两层空间上的分析，吴教授得到了他的方程。我对湍流和吴教授的理论也只了解点皮毛，如诸位发现吴教授的理论中有错误，可以在这里公开指出，也可以给吴教授发email，反正吴教授也是想在网上公开讨论一下，看自己提出的理论是否有错误。

songeli

请问速度的涨落u'是一阶无限小量能给出理论证明吗？还是假设?

rabbitpig

请注意吴教授平均量方程中的对流项是和雷诺方程不一样的，其中隐含了雷诺应力！

tingeMM

[这个贴子最后由tingeMM在 2004/10/23 06:34am 第 1 次编辑]

下面引用由rabbitpig在 2004/10/15 07:15pm 发表的内容：
不管怎么平均，由对流项所引起的非线性是不可能通过平均消除的，必然要在平均方程中多出一项，即雷诺应力。如果不显式地写出这一项，必然要隐式对待。隐式处理实际上是不可能的，无法导出这一方程。正如吴教授的论文里面，引入了脉动速度的方程，注意，这一方程是定义在单子流动上的，事实上给不出单子流动的初始条件和边界条件。

“不管怎么平均，由对流项所引起的非线性[项]是不可能通过平均消除的，必然要在平均方程中多出一项，即雷诺应力。如果不显式地写出这一项，必然要隐式对待。”
一语中的，rabbitpig是高人啊！
上面两句话的表述就象“世上不存在第一类或第二类永动机”一样铿锵有力。
记得在中学时读过一本(好像名叫)“世上有永动机吗？”的科普书。书上说根据热力学第一、第二定律，人类不可能造出第一类或第二类永动机。书中列举了许多永动机的例子，繁简都有，有实例但更多的是构思、设计。作者对每一个例子都从物理学中的某一具体的定律、定理或原理来说明那些例子的不可能性。后来再回想起读那本书的最大感受或收获是某天突然意识到作者所引用的那些否定各种永动机例子的物理学定律、定理或原理看上去似乎与热力学第一、第二定律并没有直接联系，你说妙不妙吧！妙在什么地方呢？妙在此地：(1)热力学第一、第二定律看似简单，但你要用它具体地、令人信服地否定某一永动机却不是那么简单了；(2)我就认准了热力学第一、第二定律直接否定永动机的存在肯定不会犯错误。
我们该不该化点时间先好好的学一学这“非标准分析”再顺着吴教授的思路迫使自己理解有结构的点及其平均的概念，然后再令人信服地说明关键是那一步出了问题或成功了呢？谁要是有充裕的时间、有兴趣的话，可试试。要是没时间如此做的话，则我建议大家应该相信rabbitpig的上两个帖子。

周华

我对“非标准分析”的理解也只限于那天吴教授的一点介绍，连皮毛都算不上。根据吴教授那天的介绍，单子内的脉动速度是一阶无穷小是这个理论的一个基本假设。吴教授当时提出的一个证据是北大做的一个实验，这个实验的要点是证明微小空间和微小时间尺度内，湍流物理量的变化是连续的。既然物理量的变化是连续的，那么如果在一点周围取无穷小区间的话，这个区间内物理量的增量就应该是无穷小的。当然仅凭一个实验就做出这样的假设是缺乏说服力的，如果各位有办法证明这个假设是错的，那这个讨论就可以结束了。
至于脉动速度的边界条件和初始条件，我想是否也可以沿用现在湍流计算中的做法？在壁面上让脉动量等于零，初始条件根据平均流条件给个估计值就可以了。
从吴教授的介绍中看，他推导出来的方程也并没有抹杀对流项的非线性，所以rabbitpig的问题我还不知道说的是什么。不管怎样，如果大家有兴趣讨论这个问题，还是先看看吴教授的文章，这样评价起来能客观一些。

周华

再发一篇吴教授今年修改过的文章供大家参考。

flowermoon

[这个贴子最后由flowermoon在 2004/10/23 10:22am 第 1 次编辑]

下面引用由周华在 2004/10/22 12:25pm 发表的内容：
…………
既然物理量的变化是连续的，那么如果在一点周围取无穷小区间的话，这个区间内物理量的增量就应该是无穷小的。……，那这个讨论就可以结束了。
…………

N-S方程本身是封闭的，只是平均之后才出现不封闭。若平均是在可略去高阶量的无穷小区间上进行，这一开始的平均岂非多此一举？

polb

四点直觉：
1。中国科技大学学报的效率还是很高的。2002年10月22日收稿，12月就登了出来。
2。文章不长，除英文摘要外，两页多些。
3。用在层流基础上建立的N-S方程无论怎么平均都不可能彻底解决紊流问题，就像用在分子基础上的方程无论怎么统计都不可能彻底解决层流问题一样。紊流问题的解决需要自己的一套理论体系。
4。质点是分子团。涡体是质点团。层流着眼于分析质点团的运动。紊流着眼于分析涡体的运动。有相似之处，只是层次不同而已。并且层次也不仅此两个，还有更低的和更高的多个层次。奥妙无穷。这正是愚公移山之根由。无穷对无穷，无穷尽矣。