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周华

阿诺德有一本书就叫《经典力学中的数学方法》。

coolboy

周华 发表于 2024-9-11 10:52
阿诺德有一本书就叫《经典力学中的数学方法》。

是。这本书是阿诺德为莫斯科大学数学力学系数学专业三、四年级本科生《经典力学》课准备的教材，教时为一年半。俄文版于1974年出版，英文版于1978年出版。

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现在我们把时间轴拉到1980年代中期。当时，流体力学剑桥学派的掌门人（姑且称他为MM）也正研究到了与Fjortoft判据相关的流动稳定性问题。中国人可能对“流体力学剑桥学派掌门人”的概念不是很熟。但我若提到MM之前的两代掌门人的名字，分别是G. I. Taylor和G. K. Batchelor，大家肯定也就知道是怎回事了。MM当时认为他对Fjortoft判据作出了一个重要的推广，把它推广成了一个完全的非线性判据并提出由该非线性判据而可方便地估算出非线性扰动增长的上界。

上面提到，Fjortoft判据是基于Rayleigh判据而进一步发展出来的。Rayleigh判据或Rayleigh定理关于流动不稳定性的必要条件是说假如流动是不稳定的，则初始的小扰动会随时间无限地指数增长。实际流动的演变当然并非如此。当时一个比较成熟的关于非线性效应抑制线性增长的理论就是著名物理学家朗道在1944年研究湍流时提出的。从数学上来简单叙述，则基于简正模态分析方法的思路是把解按泰勒级数展开之后仅取展开后的第一项（也即线性项）进行分析。朗道则是把展开后的前三项都包括进去了（所以是非线性理论）。MM所提出的判据则并没有对解作常规的泰勒级数展开及截断。所以他所提出的判据就是一个完全的非线性判据。

在交流过程中，有人告诉MM，阿诺德在20年前就已经得出了Fjortoft判据的非线性推广。MM回去查文献，找到了阿诺德1965年发表的论文。阅读之后认为，阿诺德提出了变分法来研究稳定性判据，但感到所得结果也并非是完全的非线性判据，所谓的一阶、二阶变分也就类似于取泰勒级数展开的前几项。尽管可认为是非线性理论但并不是完全的非线性。之后，MM又被告知，阿诺德确实推出了完全的非线性稳定性判据。MM回去又继续找啊、找啊、挖呀挖（当年没有互联网）。最后挖出了阿诺德在1966年发表在一份并非知名的（俄文）杂志上的论文，总共三页纸，给出了完全的非线性Fjortoft判据的完整推导。该论文直至1969年才被翻译成英文出版，而阿诺德1965年的两篇相关论文则在当年就被翻译成英文出版。不过，阿诺德1966年论文的引用以及它的主要结果也被包括在上楼提到的阿诺德1978年出版的《经典力学中的数学方法》的专著（的附录二）中。比较有意思的是，专著中仅引用了阿诺德1966年的论文而并没有引用他1965年的两篇论文。在书中，阿诺德还给他的结果加了一个注：“We emphasize that in Theorem 13 it is not a question of stability ‘in a linear approximation’ but of actual strict Liapunov stability (i.e., with respect to finite perturbations in the nonlinear problem)”。


参考文献：

Arnol'd, V. I., 1965a: Conditions for nonlinear stability of stationary plane curvilinear flows of an ideal fluid. Doklady Mat. Nauk., 162, 773-777.
Arnol'd, V. I., 1965b: Variational principle for three dimensional steady-state flows of an ideal fluid. Prikl. Mat. Mekh., 29, 846-851. Translated in J. Appl. Math. Mech., 29, 1002-1008.
Arnol'd, V. I., 1966: On an a priori estimate in the theory of hydrodynamical stability. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Matematika, 54, no. 5, 3-5. (English Transl: Am. Math. Soc. Transl., 79 (1969), 267-269.)
Arnol’d, V. I., 1978: Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, New York, 462 pp.
Kuo, H. L., 1949: Dynamic instability of two-dimensional nondivergent flow in a barotropic atmosphere. J. Meteor., 6, 105-122.
McIntyre, M. E., and T. G. Shepherd, 1987: An exact local conservation theorem for finite-amplitude disturbances to non-parallel shear flows, with remarks on Hamiltonian structure and on Arnol'd 's stability theorems. J. Fluid Mech., 181, 527-565.
Zeng, Q. C., 1987: Variational principle of instability of atmospheric motions.  In "Proceedings of International Summer Colloquium on Nonlinear Dynamics of the Atmosphere, Beijing, Aug. 10-20, 1986" (Q. C. Zeng, ed.), pp. 175-186, Science Press, Beijing, 406 pp.

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上面关于阿诺德流动稳定性定理的故事我在几年前曾在本论坛的另一个帖子中说起过：

The books once interested me  [104-107楼]
http://www.cfluid.com/forum.php? ... page%3D1&page=7

只是那个帖子是英文发帖，故事思路也有差异，故所叙内容也不尽相同。在那个帖子中也还提到了这一研究领域的一本中文专著：
黄思训、伍荣生编著，2001：《大气科学中的数学物理问题》，气象出版社，北京，540页。


阿诺德流体稳定性定理研究的是波动流场与基本流场（或背景流场）之间的非线性相互作用，也即所谓的波-流相互作用。另一个关于波动流场各分量之间的非线性相互作用，即波-波相互作用则是一个更困难得多的数学问题。这方面的研究采用分析力学的方法或即哈密顿流体力学进行研究的最著名的工作就是关于表面水波的Zakharov方程了。V. E. Zakharov是本主题帖上面[151楼]中提到的Roald Sagdeev的得意门生。这一研究领域中比较著名的一个中国学者是袁子春(H. C. Yuen)。他后来从事网络创业，成了富豪，应该算是一个改行获得成功的例子。我在那个英文帖子的[45-46楼]中介绍过这方面的相关内容：
The books once interested me  [45-46楼]
http://www.cfluid.com/forum.php? ... page%3D1&page=3

coolboy

coolboy 发表于 2024-7-16 04:27
在大气、海洋流体力学中，有一个非常有名的无量纲数叫罗斯贝数（C. G. Rossby）。罗斯贝数在前苏联被 ...

Monin, A. S., 1990: Theoretical Geophysical Fluid Dynamics. Kluwer Academic Publishers, Boston, 399 pp.

上面这本书的作者（A. S. Monin）是柯尔莫戈罗夫的另一位非常出名的学生。这本书的内容高度浓缩。所以，这本书的阅读难度也大大地高于A. S. Monin与A. M. Yaglom合著的另一本湍流名著（Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of Turbulence）。上专著的俄文版于1988年出版，英文版于1990年出版。这本专著最具有特色的地方就表面波、重力内波及罗斯贝波这三类不同的波动都用哈密顿正则方程的形式来研究。
这是一本关于地球流体力学的专著。在书中自然会介绍关于“罗斯贝波”、“罗斯贝变形半径”等内容。但在所有本该出现“罗斯贝数”的地方，则书中用的是“基培尔数”（Ki=U/fL）。

柯尔莫戈罗夫除了自己厉害之外，他还有不少厉害、出名的学生。那么基培尔有没有厉害、出名的学生呢？除了上面周华站长提到的曾庆存之外，基培尔另一个有名的学生名叫布利诺娃（E. N. Blinova）。布利诺娃是基培尔的学生，后来也成了基培尔的妻子，据说是令世人挺羡慕的师生恋的典范。在前苏联的一些文献中，“罗斯贝波”也被称之为“罗斯贝-布利诺娃波”。

coolboy

今天是11月1日。再过4天，11月5日就是美国总统的大选日。今年美国的总统大选，除了对美国及世界政治、经济会产生较大的影响之外，也会产生美国总统史上新的“第一”。若是民主党的候选人哈里斯当选，则她就是美国历史上的第一位女总统。若是共和党的候选人特朗普当选，则他就是美国历史上的第一位前任总统又被当选的总统。美国宪法规定总统最多可连任一次。但对于卸任之后的前任总统是否可再次当选则并没有限制。当年美国总统克林顿当了两届美国总统卸任之后还很年轻，有人提议他卸任之后过几年继续竞选美国总统。他感到自己再当也没什么劲，就协助他的夫人希拉里竞选美国总统。但希拉里最后还是败给了特朗普。

目前从民调上来看，似乎选情焦灼，民调显示的胜负基本是在民调统计误差范围内。从美国选举人制度的规则来看，民主、共和两党双方的胜负基本由几个摇摆州的选举结果来决定。我个人感觉哈里斯获选的可能性还是大不少。目前关键摇摆州的民调看上去特朗普已追上，但那是指仅民主、共和两党竞选的民调。实际还有自由党、绿党、独立参选人肯尼迪加在选票之上。加上其他候选人一起的选举民调，则哈里斯在关键摇摆州还是稍占优势。

周华

coolboy 发表于 2024-11-1 22:31
今天是11月1日。再过4天，11月5日就是美国总统的大选日。今年美国的总统大选，除了对美国及世界政治、经 ...

美国大选真是今年年底的压轴大戏，哈里斯上台的话可能会延续拜登政府的做法，特朗普上台的话可能会做出一些激进的事儿。

coolboy

周华 发表于 2024-11-3 13:50
美国大选真是今年年底的压轴大戏，哈里斯上台的话可能会延续拜登政府的做法，特朗普上台的话可能会做出一 ...

有关特朗普的执政风格，我在他上一任期以及开打中美贸易战的讨论时已说到过（本主题帖7楼、26楼）：

“其实有些贸易核心问题美方最近几届政府一直在提，但通常政治家都讲平衡和交易，很少讲“认真”二字。特朗普有时偏偏就给你来个死硬态度，看起来就有失政治家的风度了。中方最近的有些态度转变，如外商投资法的一些条例，在一年前是不可思议的。”

“特朗普总统是我记忆中唯一没有从政经历而当选的美国总统。他的行事风格自然就会与其他所有总统不同了。总统行事需要考虑到各方利益的平衡，其包括选民利益、国家利益、个人（历史定位）利益及背后的政治集团的利益。那背后的政治集团应该是总统在之前的政治生涯中形成的，很难一时切割。决定平衡态的因素越多，则平衡态也就越稳固、越可预测、越难以打破。当集团利益与其他因子利益相冲突时，短期内个人的利益就会显得比较渺小了。特朗普总统是没有从政经历的商人出身，他自然就没有或不用顾及集团利益（还真是“我的地盘我作主”）。假若他再次当选，则在下届总统任期内，连选民利益的权重都会大大地降低，可预期到时的行事风格会更加大刀阔斧。”

他若再次当选为美国总统，他的执政风格也还会依旧不变。

coolboy

顺带说一下关于民调与赌盘的相对可信度问题。从统计学的角度来讲，可信度或即误差分析其实是与样本的独立性直接相关的。统计学中最重要的概念或分析的基石应该就是常常提到的所谓的“i.i.d.”。它是“independent and identically distributed”（“相互独立及相同的分布”）的缩写。也就是说用于分析的统计样本必须是从“相互独立及相同的分布”的群体中抽样获得的。民调样本建立常用的方法就是从随机抽取的电话号码中确定被调查者，这是相对而言能满足“i.i.d.”条件从而其统计分析结果也是比较可信的。相反，赌盘样本的抽取明显不满足“i.i.d.”条件。例如，有人下注10元，另有人则下注1000元，则下注1000元的大样本就包含了100个完全相关的下注10元的小样本。样本不满足“i.i.d.”条件，结果也无从分析，结论自然也没有民调结论可信了。

周华

coolboy 发表于 2024-11-3 22:30
有关特朗普的执政风格，我在他上一任期以及开打中美贸易战的讨论时已说到过（本主题帖7楼、26楼）：
...

谁知道，吃瓜群众就看戏吧

coolboy

周华 发表于 2024-11-3 23:21
谁知道，吃瓜群众就看戏吧

但若如果对目前民调与赌盘特朗普会赢的结果有疑惑，反而对哈里斯会赢的结果更有信心，则也能投资赚小钱啊！特朗普上台会大幅度减税，政府会大量发行美债来维持政府运，作会导致美债大跌。所以，认为盘特朗普会赢的投资者就做空美债导致最近近两个月美债提前大跌。若哈里斯赢得选举，则美债会强烈反弹大涨，现在做多美债就有可能赚上一票。

周华

coolboy 发表于 2024-11-5 04:57
但若如果对目前民调与赌盘特朗普会赢的结果有疑惑，反而对哈里斯会赢的结果更有信心，则也能投资赚小 ...

机智！现在谈到美国国债，大多数人想到的都是到底什么时候崩盘。利用总统大选的影响力赚一小笔，这还是第一次听到！

coolboy

特朗普当选为美国下一任总统。美债继续下跌，美元走强，黄金下跌。

周华

coolboy 发表于 2024-11-6 21:32
特朗普当选为美国下一任总统。美债继续下跌，美元走强，黄金下跌。

特朗普上台后应该办的第一件事是洗脱自己的罪名吧，然后可能会继续他在第一个任期内未竟的事业。

coolboy

周华 发表于 2024-11-9 14:36
特朗普上台后应该办的第一件事是洗脱自己的罪名吧，然后可能会继续他在第一个任期内未竟的事业。

特朗普当选之后几乎是瞬间几位法官（检察官）就撤销了对他一些可能/所谓“罪名”的起诉。据说特朗普老班子的主要成员会回归组成特朗普的新班子，其中就有目前在中国政府制裁名单上的蓬佩奥、纳瓦罗、班农等。