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周华

阿诺德有一本书就叫《经典力学中的数学方法》。

coolboy

周华 发表于 2024-9-11 10:52
阿诺德有一本书就叫《经典力学中的数学方法》。

是。这本书是阿诺德为莫斯科大学数学力学系数学专业三、四年级本科生《经典力学》课准备的教材，教时为一年半。俄文版于1974年出版，英文版于1978年出版。

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现在我们把时间轴拉到1980年代中期。当时，流体力学剑桥学派的掌门人（姑且称他为MM）也正研究到了与Fjortoft判据相关的流动稳定性问题。中国人可能对“流体力学剑桥学派掌门人”的概念不是很熟。但我若提到MM之前的两代掌门人的名字，分别是G. I. Taylor和G. K. Batchelor，大家肯定也就知道是怎回事了。MM当时认为他对Fjortoft判据作出了一个重要的推广，把它推广成了一个完全的非线性判据并提出由该非线性判据而可方便地估算出非线性扰动增长的上界。

上面提到，Fjortoft判据是基于Rayleigh判据而进一步发展出来的。Rayleigh判据或Rayleigh定理关于流动不稳定性的必要条件是说假如流动是不稳定的，则初始的小扰动会随时间无限地指数增长。实际流动的演变当然并非如此。当时一个比较成熟的关于非线性效应抑制线性增长的理论就是著名物理学家朗道在1944年研究湍流时提出的。从数学上来简单叙述，则基于简正模态分析方法的思路是把解按泰勒级数展开之后仅取展开后的第一项（也即线性项）进行分析。朗道则是把展开后的前三项都包括进去了（所以是非线性理论）。MM所提出的判据则并没有对解作常规的泰勒级数展开及截断。所以他所提出的判据就是一个完全的非线性判据。

在交流过程中，有人告诉MM，阿诺德在20年前就已经得出了Fjortoft判据的非线性推广。MM回去查文献，找到了阿诺德1965年发表的论文。阅读之后认为，阿诺德提出了变分法来研究稳定性判据，但感到所得结果也并非是完全的非线性判据，所谓的一阶、二阶变分也就类似于取泰勒级数展开的前几项。尽管可认为是非线性理论但并不是完全的非线性。之后，MM又被告知，阿诺德确实推出了完全的非线性稳定性判据。MM回去又继续找啊、找啊、挖呀挖（当年没有互联网）。最后挖出了阿诺德在1966年发表在一份并非知名的（俄文）杂志上的论文，总共三页纸，给出了完全的非线性Fjortoft判据的完整推导。该论文直至1969年才被翻译成英文出版，而阿诺德1965年的两篇相关论文则在当年就被翻译成英文出版。不过，阿诺德1966年论文的引用以及它的主要结果也被包括在上楼提到的阿诺德1978年出版的《经典力学中的数学方法》的专著（的附录二）中。比较有意思的是，专著中仅引用了阿诺德1966年的论文而并没有引用他1965年的两篇论文。在书中，阿诺德还给他的结果加了一个注：“We emphasize that in Theorem 13 it is not a question of stability ‘in a linear approximation’ but of actual strict Liapunov stability (i.e., with respect to finite perturbations in the nonlinear problem)”。


参考文献：

Arnol'd, V. I., 1965a: Conditions for nonlinear stability of stationary plane curvilinear flows of an ideal fluid. Doklady Mat. Nauk., 162, 773-777.
Arnol'd, V. I., 1965b: Variational principle for three dimensional steady-state flows of an ideal fluid. Prikl. Mat. Mekh., 29, 846-851. Translated in J. Appl. Math. Mech., 29, 1002-1008.
Arnol'd, V. I., 1966: On an a priori estimate in the theory of hydrodynamical stability. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Matematika, 54, no. 5, 3-5. (English Transl: Am. Math. Soc. Transl., 79 (1969), 267-269.)
Arnol’d, V. I., 1978: Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer-Verlag, New York, 462 pp.
Kuo, H. L., 1949: Dynamic instability of two-dimensional nondivergent flow in a barotropic atmosphere. J. Meteor., 6, 105-122.
McIntyre, M. E., and T. G. Shepherd, 1987: An exact local conservation theorem for finite-amplitude disturbances to non-parallel shear flows, with remarks on Hamiltonian structure and on Arnol'd 's stability theorems. J. Fluid Mech., 181, 527-565.
Zeng, Q. C., 1987: Variational principle of instability of atmospheric motions.  In "Proceedings of International Summer Colloquium on Nonlinear Dynamics of the Atmosphere, Beijing, Aug. 10-20, 1986" (Q. C. Zeng, ed.), pp. 175-186, Science Press, Beijing, 406 pp.