[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程？

coolboy

coolboy 发表于 2015-12-24 10:57
我来提问、请教、或同大家讨论一下关于“动力翱翔”（dynamic soaring）的问题：

动力翱翔与伯努利方程 ...

问：
(1)动力翱翔与伯努利方程存在内在的联系吗？
(2)为什么需要风速随高度增加才能达到回旋飞翔的效果？


大致想了一下，看了一些文献，先给出如下的初步、简单答案：

（1）既然涉及到飞行问题，而伯努利方程又与茹科夫斯基定理直接相关，则对动力翱翔物理机制的解释或理解也必然与伯努利方程相关。
（2）回旋飞翔的确切定义是什么？是指鸟类或飞行器周期性地回到原来位置、还是仅回到原来高度？风速随高度增加未必是回旋飞翔的必要条件。

动力翱翔最初可能是从研究信天翁(albatross)飞行作为一个仿生流体力学的问题研究起来的。因为大气边界层的风速总是随高度增加，故模拟信天翁回旋飞行的模式也假定环境风场随高度增加。接着慢慢地就认为要达到回旋飞行的目的则环境风场必须随高度增加，即认为风速随高度增加是回旋飞行的物理机制。但若从流体力学基本原理的分析上看，却很难得出这一结论。

coolboy

先推荐一篇关于动力翱翔问题研究很不错的论文，我认为此文对于了解或理解回旋飞翔物理机制很有帮助：

Sachs, G., J. Traugott, A. P. Nesterova, G. Dell’Omo, F. Kummeth, et al., 2012: Flying at no mechanical energy cost: Disclosing the secret of wandering albatrosses. PLoS ONE 7(9): e41449. doi:10.1371/journal.pone.0041449.

coolboy

我们从能量平衡或即能量收支的角度来考察、解决回旋飞翔的物理机制这一问题。

首先，若不考虑外力的作用，则信天翁或飞行器在飞行过程中尽管其动能与重力势能可以相互转换，但动能与势能之和的总能量不变。也就是说，信天翁飞行过程中无论是外界空气流对之作功或由于摩擦作用而导致的能量损失，都对应其总能量的变化。

我们可以考察三个不同阶段的总能量变化：（1）上升阶段，（2）初期下降阶段，（3）后期下降阶段。

（1）在信天翁的迎风上升阶段，我们刚好可应用伯努利方程，上面[315楼]帖子中对一理想情形的物理图像作了一个清晰的描述：

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Bernoulli discovers the fluid equation

Taking his discoveries further, Daniel Bernoulli now returned to his earlier work on Conservation of Energy. It was known that a moving body exchanges its kinetic energy for potential energy when it gains height. Daniel realised that in a similar way, a moving fluid exchanges its kinetic energy for pressure. Mathematically this law is now written:

1/2*rho*u^2 + p = constant

where p is pressure, rho is the density of the fluid and u is its velocity. A consequence of this law is that if the velocity increases then the pressure falls. This is exploited by the wing of an aeroplane which is designed to create an area of fast flowing air above its surface. The pressure of this area is lower and so the wing is sucked upwards.
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据此描述，在理想情形下，鸟翼或机翼所受的摩擦力可略。由于鸟翼上下表面的速度差，根据伯努利方程，上下翼面产生一个压力差。由于此压力梯度力的方向（向上）刚好与飞机运动方向（上升）的夹角小于90度，故在此情形下，空气流对信天翁作功，信天翁的总能量增加。 当然，实际情况不可能是完全无摩擦的。对抬升力和摩擦引起的阻力作用的定量描述常常由C_L与C_D之比值来确定。我最近在另一个帖子中恰好还介绍了C_L与C_D及它们之间的关系：

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流体力学发展史   [27楼]
http://www.cfluid.com/thread-149959-2-1.html

管道流动可近似为流体的一维流动，阻力参数化的经验阻力系数也就是一个变量（C_D）。对于飞行空气动力学，所对应的与气流绕流机翼时所产生的阻力及其参数化则至少是一个二维问题。所涉及的阻力参数化的经验阻力系数就有两个基本变量（C_L，C_D）（对应于Lift与Drag）。此时，除了（C_L，C_D）其本身数值之外，人们常常更关心C_L与C_D之间的关系。
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在给定翼型的条件下，C_L/C_D的大小很大程度上取决于攻击角（Angle of attack）的取值。在不少情形下，在攻击角处于5度至10度的范围内，C_L/C_D可达50左右，即翼面所受的抬升力远大于阻力。

结论一：在信天翁的迎风上升飞行过程中，根据伯努利方程得知，空气流可对它做功而使得它的总能量增加。


（2）在信天翁的初期下降阶段，我们继续来考察一下伯努利方程及其应用。......

（待续）