[讨论]用非标准分析方法封闭湍流方程（吴峰）

coolboy

原帖由 coolboy 于 2012-11-19 10:12 发表

                               
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这里，“系综平均”（ensemble average)、“各态历经”（ergodicity)、“平稳过程”（stationary process)等都是概率论和随机过程中很基本且也很深刻的概念。工程流体力学一般直接从时间或空间平均出发可解决一些实际问题，这么做一般也就不知道问题原本应该是怎样的，从而概念始终是模糊的。
...

这里，相关的基本学科是“随机过程”，但一般的随机过程教科书会花费大量篇幅于离散的马尔可夫过程，与流体力学及湍流理论关系不大。这里我再推荐一本相对于流体力学及湍流理论专业很不错的教科书：

Panchev, S., 1971: Random Functions and Turbulence. Pergamon Press, New York, 444 pp.

这本书于1965年由保加利亚文出版，1967年被翻译成俄文出版，1971年由俄文翻译成英文出版，接着又被翻译成了中文出版。

coolboy

上面提到了马尔可夫过程，这里就顺便再说一下随机因素在数学物理问题中的作用。以前在科学网何毓琦的博客中灌水时我曾作过如下的评论：

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On finding an ideal partner for life
http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=1565&do=blog&id=276944
http://blog.yeshj.com/coolboy/archive/2009/12/26/1511545.html

Professor Ho mentioned Kalman filter in his replies to my above comments. In terms of the relative importance of determinant versus randomness, we probably can divide the stochastic optimization problems into two categories: (1) those where the determinate processes are dominant with small modifications coming from randomness and (2) those we know little about precise laws governing their changes due to randomness that makes the major contributions to system variations. One well-known example in the first category is the change and control of the state of a spacecraft (or any flying object) where stochastic uncertainties only slightly modify the known dynamical system. In this category, the Kalman filter is always the best method/approach to solve the stochastic optimization problems BECAUSE the Kalman filter fully utilizes the available knowledge/resource of the determinate dynamical system. On the other hand, if one likes to optimize a network of traffic flows by appropriately setting the timings of the traffic lights at all the interactions there is hardly any determinate law that will tell us, as a first order approximation, how the flow will evolve with time. In this case, the gradient needs to be evaluated entirely by the stochastic approximations.

An introductory essay on Kalman filter is given below:

A physicist’s view on Kalman filter  [coolboy]
http://blog.hjenglish.com/coolboy/archive/2008/09/13/1169992.html
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上面这段评论的意思是说，根据随机因素在整个问题中相对于确定性过程所占比重的大小，我们有两类不同的问题及处理方法。第一类是象对飞行器状态变量的预测及控制类的问题，随机因素是小扰动。第二类是象股市的短期涨落及交通流变化等问题，随机因素占主导地位。马尔可夫过程也可认为是第二类问题的一个例子。湍流问题则刚好介于这两者之中。流体运动本身由确定的纳维-斯托克斯方程很精确地描述，但由于方程的无限维（连续介质）及非线性过程等等而导致的随机因素在湍流问题中也并非是小扰动。由此，对湍流问题的研究即使也是从概率论和随机过程的角度来进行，也与另两类问题的研究方法出现很大的差别。



[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-3-9 21:40 编辑 ]

通流

最近20年，搞控制的人都想试一下流动控制。其中成功的例子不多。这里的原因大概是非线性占大头。剑桥的一位能够通过抑制小的波动，把一层水稳定在一个容器的顶部不掉下来。

顺便问一句，Ho是哈佛（现在在清华）的何毓琦吗？

coolboy

原帖由 通流 于 2012-11-29 02:32 发表

                               
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顺便问一句，Ho是哈佛（现在在清华）的何毓琦吗？

是。何毓琦英文名Yu-Chi Ho，上面给出的链接中有介绍。尽管已从哈佛退休，但在清华也并非是全职，说那是多亏听了他夫人的建议。

coolboy

原帖由 coolboy 于 2012-11-19 10:13 发表

                               
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我现在来说一说“非标准分析”。什么是“非标准分析”？“分析”在这里其实就是指“数学分析”，“标准”一般也就是获得大家认可、通常也称作为“主流”的意思。所以，这里“非标准分析”的含义其实是指“非主流数学分析”的意思。那么“主流数学分析”又是指什么呢？“主流数学分析”就是由柯西(Cauchy)和魏尔斯特拉斯(Weierstrass)建立的以无穷级数、极限、epsilon-delta语言等为主体的现代微积分理论。所有与这一主流数学分析不符或企图取代或推翻主流方法的理论或观点都可称为“非主流数学分析”。象上面[24楼]的黄小宁经常在这一论坛发他的“全新数学”。这“全新数学”也可认为是“非主流数学分析”的另一个例子，只不过是没有“非标准分析”这么有名气而已。

我是在当年才上大学时的第一学期听说了这个“非标准分析”的理论或方法的。………

（待续）

我是在当年才上大学时的第一学期听说了这个“非标准分析”的理论或方法的。当年中国大陆“文化大革命”时期有一个很有名的理论就是“读书无用论”。工农兵青年上大学不凭考试、不用凭文化知识（如有些有些男生靠“走后门”、有些女生靠“卖银”上大学）。此外，多读书了还有可能会受批评或批判，是不是倾向“白专”想走资本主义道路啊？所以一般的年轻人都不感兴趣读书学习。我自己因为喜欢自然科学而在中学时在学校图书馆就读了不少的数学物理书。我曾经在一个帖子中说到了一些：

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他乡遇故知    [coolboy]
http://blog.yeshj.com/coolboy/archive/2011/11/26/1710284.html

科学网的曾泳春最近写了一篇博文：
炫耀老书 [曾泳春]
http://blog.sciencenet.cn/home.p ... =blog&id=511044
这也钩起了我对两本老书的回忆。
在中学时曾自学大学的数理化，但真正从头至尾耐心读全了的书没有多少。其中有高中老师推荐的两本书分别是清华大学的《高等数学》上、下册及北京工业大学的《普通物理》上、下册。其它的很多杂书一般都是看了一半或四分之一，看不下去了就换几本不同的书再看。许多年之后，在美国逛旧书店时，看到了下两本书。看着内容特熟悉，应该是自己当时曾经读过一半或四分之一的中文书的原版书。顿有一种“他乡遇故知”的感觉，赶紧掏钱买下：
Van der Waerden, 1949: Modern Algebra, Vol. 1.
B. Friedman, 1956: Principles and Techniques of Applied Mathematics.
上了大学之后，耐心而仔细从头至尾通读过的高等数学书是江泽坚的《数学分析》上、下册。
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此外，一方面是当时书店多马列的书而无一般的数理化书，另一方面是读马列的数学物理书或为了学习理解马列的书而学习数学物理也不可能犯错误，故当时也买了读了一些诸如马克思的《数学手稿》、恩格斯的《自然辩证法》等书。而马克思的《数学手稿》从后来的观点来看也就是类似于上面所说的“非标准分析”、“全新数学”等的另一个“非主流数学分析”的观点而已。马克思在《数学手稿》中的主要新观点也就是说抛弃“无穷级数、极限”的概念没什么了不起的，传统的“零不可做除数”也不一定就是真理，所谓的导数其实就是“0/0”。当时有些人就认为马克思直接用“0/0”取代“极限和导数”是数学分析中的一种革命性的创新。

后来考上大学了。我们那一届的同学中有各类不同的学术背景。例如，就有已经从师范大学数学专业毕业在中学任教之后又再考上大学的，自我感觉我的数理化基础还是要远远地高出包括这类同学的其他同学。直到有一天有一位T同学或T老兄给大家介绍这“非标准分析”。这可是我不知或从没听说过的数学内容，我当时就对他升起了一股崇敬之情。他说这“非标准分析”是一种前沿性的新的数学分析方法，在这里大家感到最难理解的所谓“无穷小”就不再是一个抽象的概念而就是一个实在的“数”。在此基础上许多数学分析的问题的求解就都变得非常简单。当时教我们数学分析的程老师是文革前厦门大学数学系毕业的，正讲到实数集的划分什么的。有次在课余时间我就问了他关于马克思的《数学手稿》的“0/0”以及T老兄说的“非标准分析”的“无穷小”是一个“数”的这些理论。这位程老师也知道或十分清楚《数学手稿》和“非标准分析”理论。尽管当时没有“非主流”或“民科”等术语，但他用非常肯定的语气给我解释了这些理论的特性，说是这些都是一些个人或某些人的观点，一般得不到数学学术界的认可，获得大家认可的理论也还是教科书中由柯西建立的以无穷级数和极限为基础的微积分。epsilon-delta语言其实是把极限的抽象概念具体化，这套理论是很完整和严谨的。因为当时众所周知的陈景润也是从那众所周知的厦门大学数学系毕业的，所以我对程老师那段解释坚信不移，后来也从没有再花费任何时间精力于《数学手稿》和“非标准分析”之中去。

哦，对了，那位T老兄他本人并不是很有名气，但他父亲其实是相当地有名。他就是......。

（待续）




[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-3-9 21:41 编辑 ]

至尊仙

鸿蒙之道
真理就是一个点，我们无限接近而又无法抵达，三千大道，八百旁门，无非都是从不同的方向抵达同一至高点，所谓唯一正确也就没那么重要了。

[ 本帖最后由 至尊仙 于 2012-12-6 12:07 编辑 ]

coolboy

原帖由 coolboy 于 2012-12-6 02:15 发表

                               
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哦，对了，那位T老兄他本人并不是很有名气，但他父亲其实是相当地有名。他就是......。

（待续）

哦，对了，那位T老兄他本人并不是很有名气，但他父亲其实是相当地有名。那位T老兄就是曾经担任过中国国务院副总理及全国人大常委会副委员长谭振林的儿子谭晓光。当然，谭振林出名也并非是他的“副总理”或“副委员长”头衔的缘故，带“副”字的总理、委员长多着呢！谭振林出名是因为他是“文革”时期“二月逆流”事件的“主角”或“正角儿”。当年的“一月风暴”和“二月逆流”是两件很大的事。

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从上面的讨论中大家可以看出，这个关于用非标准分析方法封闭湍流方程的处理有三个层次的问题。（1）首先是具体的处理方法、逻辑有问题，即诸如[21楼]等的评论所说到的，作者其实是忽略了雷诺应力项，然后说自己方程中没有这些项从而方程封闭了。（2）其次，作者所研究的其实是关于湍流基础理论研究的一个课题，但作者对所研究对象的背景知识知之甚少。（3）此外，有时确会出现“它山之石，可以攻玉”的情况，但作者所掌握的“非标准分析方法”工具显然不可用，反而使人误入歧途。

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以后我有时间会另开一个帖子稍详细谈谈湍流基础理论研究中的平均为什么必须是系综平均及其它的一些问题。类似的问题也可考虑，例如：不知大家学概率统计时是否深究过这一问题，这“期望”同“平均”到底有什么区别？又例如，学了微积分的“无穷级数和极限”等一些深刻的概念之后，有时这曲线长度等都不用尺子去一段段地测量就能把它（更精确地）求出来了。类似地，许多湍流理论的重要结果也并不需要实际上把系综平均转化为时间或空间平均而求得。若有耐心的话，大家应该可以先看看我前面推荐的Monin和Yaglom关于湍流理论的专著或Panchev的教科书。

通流

这里的讨论似乎显示出，工程与理论，（也许是学工的与学理的），真的是有很大的差别。
我上的那个紊流课的教授在讲，我们对紊流的认识基本还是停留在普朗特的时代。我不太清楚，普朗特是不是对分清系综平均还是时间平均或者空间平均很在意。反正，我学过的紊流都是假定那些平均都是一样的。不一样的情况，到底如何处理，我倒是很想听听。

另外，我对学大气的关于紊流的工作其实还是很有兴趣的。我举个例子。当飞机通过紊流时，我们能够明确地感觉到颠簸。也就是，对于飞机都那样的尺度大小的物体，大气紊流肯定不能用平均来处理的。对于管道中的紊流，谁也不管它的时间尺度和空间尺度。

所以，这个吴峰的处理方法，不太可能是对的。要用的话，首先得定义我们感兴趣的空间尺度和时间尺度是多少。

另外，我倒没有觉得吴峰有忽略雷诺应力的意思。他无非是说，那些项在他的方程里没有显现出来。也就是说，这只是显现的方式不同。东西还是在那里。这样的工作我也觉得没啥意思。只是勇气可嘉。

coolboy

任意给定一组数，不管是如何得来的，与随机因素或随机变量是否有关，我们都可以对它施行平均运算。平均的概念同不确定性、随机变量、概率论等没有必然的联系。对于随机变量取“平均”则就叫做求期望。随机变量的概念在概率论中的地位就相当于函数的概念在解析几何或数学分析中的地位。若认定某变量是关于时间或空间的随机变量，对它进行时间或空间的平均，则一方面我们立刻可以借用概率论中的大量现有的工具及结果，但另一方面这随机变量的不确定性又该如何解释？这变量还满不满足含有导数项的纳维-斯托克斯方程？即这下一时刻不确定的随机变量随时间的导数该如何定义？当然也可认定变量并不存在随机性，用CFD求得计算结果之后为画图好看一点就空间或时间平均平滑一下。这么做话，则同湍流研究自然也谈不上有联系了。此外......。这类似从算术运算的基础知识背景到数学分析的解释需要经过代数、几何、解析几何、无穷级数、极限、导数等等的铺垫，只能慢慢来了。再次推荐Monin和Yaglom关于湍流理论的专著。书中对Prandtl的理论也有诸多推荐和推广。但Prandtl（包括Taylor和von Karman）的理论主要成型于上世纪二十年代而Kolmogorov的理论成型于上世纪四十年代。Prandtl本质上是工程师，而Kolmogorov是数学家。

通流

其实，我一直在宣传的是，不管是工程师，还是数学家，如果面对的是同一个物理问题，那么两者之间必然是一致的。区别只是解决问题角度有所不同。如果，一个搞紊流的人，其做的结果，最终不能解决实际问题，那么这样的研究可能就是方向错了。当然，搞理论的人可能跟注重长远目标，工程师则更注重眼前需要解决的问题。这是不是有点像股票交易。像巴菲特做的是长线，所以他喜欢读公司的基本状况的信息。一些搞快速交易的人，根本不管这些，就是靠计算机的速度和计算方法实时的捕捉一些数值上的信息。大家都能赚钱。

这里，我还要提一点，工程师的方法，比如光滑一下，或者平均一下，有时候可能没有特别的理论基础，不过确实基于一个大致的对自然界的认识：那就是自然界的宏观的物理量大致是光滑的，平稳的（或者平均效应才是有效的效应）。一个简单的例子就是激波。搞CFD算法的人有一段时间总是要找用一个网格来分辨激波的格式。其实，没什么必要。激波本来就不是什么不连续。更主要的是，这个问题，并不影响其宏观的效应。

通流

coolboy提到了一个随机变量的问题。其实，所谓的随机性，也是一个近似的假定。既然方程是确定的，那么随机性是哪里来的呢？这里只能从那些混沌。随机性是一个很好的假设，因为结果对起始条件太敏感。
我其实也不清楚紊流是不是随机的。至少，在边界附近，紊流不太是随机的。我对紊流的知识也就是这么一点，所以无法深入的讨论下去了。

coolboy

原帖由 通流 于 2012-12-15 08:11 发表

                               
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其实，我一直在宣传的是，不管是工程师，还是数学家，如果面对的是同一个物理问题，那么两者之间必然是一致的。区别只是解决问题角度有所不同。如果，一个搞紊流的人，其做的结果，最终不能解决实际问题，那么这样的 ...

你这么抽象性地辩来辩去还不就是回到我一开始就给出的结论嘛：“工程流体力学一般直接从时间或空间平均出发可解决一些实际问题，这么做一般也就不知道问题原本应该是怎样的，从而概念始终是模糊的。”

工程师解决实际生活中的各类问题以及对社会、对GDP的巨大贡献是不容置疑的。

通流

看起来你还是不懂我说的意思。不能解决问题的理论，概念怎么会是清楚的呢？就像你在哪里自以为是的大侃随机变量。随机变量不也是对真实世界里的一些现象的近似吗？也就是说，在数学上搞清楚了随机变量，并不能保证你能够理解物理现象。

我倒是听过一个维纳的信徒，用随机函数来搞紊流。其结果，也就是一些别人已经知道的结果。真正遇到难的东西，还是解决不了。

onesupeng

原帖由 通流 于 2012-12-15 00:17 发表

                               
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coolboy提到了一个随机变量的问题。其实，所谓的随机性，也是一个近似的假定。既然方程是确定的，那么随机性是哪里来的呢？这里只能从那些混沌。随机性是一个很好的假设，因为结果对起始条件太敏感。
我其实也不清楚 ...

通流这点说到我心坎上，我刚要强调这个问题呢。除非湍流脉动时空尺度和分子自由程相比拟导致连续介质假定不成立，不过目前为止没有证据表明它不成立。

coolboy

原帖由 通流 于 2012-12-15 09:53 发表

                               
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看起来你还是不懂我说的意思。不能解决问题的理论，概念怎么会是清楚的呢？就像你在哪里自以为是的大侃随机变量。随机变量不也是对真实世界里的一些现象的近似吗？也就是说，在数学上搞清楚了随机变量，并不能保证你 ...

你自己看看自己发的那么多帖子吧？你有几个概念是清楚的？还说别人自以为是，大概也只有民科才有这个本事。