[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程？

coolboy

伯努里方程是能量方程在无黏条件下沿流线的积分，不同流线上对应着不同的能量，即不同的积分常数。无黏条件下的激波对应着间断面，即不少物理量在跨越无黏激波面时其变化是不连续的。特别，流线在跨越无黏激波面时是间断的。既然流线是间断的，自然不可能再“沿流线积分”，故这时候伯努利方程不能用。

但我们若回过头来再想一想的话，就应该注意到纳维-斯托克斯方程可是在连续介质的重要假定下推导出来的。关于这一点，我曾在戴世强老师关于纳维-斯托克斯方程推导的一篇博文的评论中强调过。转载如下：

++++++++++++++++++++++++++++
怎样进行数学建模？（续）——与青年朋友谈科研（10）
http://blog.sciencenet.cn/home.p ... =blog&id=369656

Coolboy: 不错。补充几点：

(I)连续介质假设和广义牛顿线性粘性定律关系。一旦引入了无限小的微元之后，自然界中的不少关系在微元上的数学描述都变成了线性关系。这一现象的数学背景就是一般函数在某点邻域的Taylor展开的第一项体现的就是线性主部。既然是无限小的微元，则引进连续介质的假设也就是必然的了。当然，非无限小的变化则多半是非线性的。例如，武际可老师的一个帖子及回复讨论就是有限非线性变化的一个很好例子：

从噗噗噔儿谈到非线性 [武际可]
http://blog.sciencenet.cn/home.p ... =blog&id=234632

想想用（无限小微元上）简单的线性关系能描述出自然界中千变万化的复杂（非线性）现象是很奇妙的一件事。

(II)“流体各向同性假设成立。于是，广义粘性系数从81个缩减为2个。”这是推导NS方程的另一关键步骤。这需要运用张量运算的一些重要性质才能解释得清楚。工程流体力学的学生一般不学张量分析或张量代数，所以工程流体力学的教科书，把NS方程的推导过程省略应该是很自然的了。对这一步骤重要性的理解在后来阶段学习湍流理论时发现也就是湍流各向同性假设使得相关函数的数目大大减少而又会加深。

(III)流体的动能方程可以从动量方程推出，而热力学内能方程（几乎）可以独立推出。因为流体的总能量必须守恒，从而包含了质量守恒、动量守恒和能量方程的广义的粘性流体运动方程被成为（封闭的）NS方程组应该更合适/自恰些。
++++++++++++++++++++++++++++

上面评论中的第三点，即纳维-斯托克斯方程组也应该包括热力学能量方程刚好也同前面的讨论密切相关。

怎么处理不连续的无黏激波面？

方法一：出发方程由于其不满足无黏激波面的不连续介质的条件就错了，我们必须重新建立新的流体力学方程来研究无黏激波面。

方法二：引进黏性来消除间断面。流体本质上总是有黏性的，物理量应该是连续的，纳维-斯托克斯方程是普适的。

方法三：....................

大家现在所知道的结果就是用方法三处理之后所得。


（待续）

[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-9-3 01:53 编辑 ]

onesupeng

原帖由 coolboy 于 2012-6-10 13:30 发表

                               
登录/注册后可看大图

"特别，流线在跨越无黏激波面时是间断的。既然流线是间断的，自然不可能再“沿流线积分”，故这时候伯努利方程不能用。"

提出两个问题：流线不连续，那么中间去哪儿了？
              无黏激波贝努力不成立，那么能量都去哪儿了？

coolboy

原帖由 onesupeng 于 2012-6-10 22:03 发表

                               
登录/注册后可看大图

提出两个问题：流线不连续，那么中间去哪儿了？
              无黏激波贝努力不成立，那么能量都去哪儿了？

Steven Weinberg曾写过有关宇宙学的很有名的一本科普书：《The First Three Minutes》。有些人一看到这一书名就喜欢马上提出如下的问题：那么在那三分钟以前的宇宙是怎么样的？大爆炸以前的宇宙究竟是怎么样的？对这类问题的答案通常是unknown或irrelevant.

通流

上面评论中的第三点，即纳维-斯托克斯方程组也应该包括热力学能量方程刚好也同前面的讨论密切相关。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

我倒是很愿意看到大家把能量方程包括到NS方程里。这样，NS方程应该有质量，动量和能量方程。

coolboy

原帖由 通流 于 2012-6-10 23:24 发表

                               
登录/注册后可看大图

上面评论中的第三点，即纳维-斯托克斯方程组也应该包括热力学能量方程刚好也同前面的讨论密切相关。
-----------------------------------------------------------------------------------------------------

我倒是很愿意看到大家把能量方程包括到NS方程里。这样，NS方程应该有质量，动量和能量方程。

我本主题帖一开始叙述的[6楼]中就早已提到：

++++++++++++++++++++++
把上面的这一基本思想应用到流体时就出现了如下几点需要特别考虑和处理：

（1）流体除了机械能之外也还包括热能（内能）。所以在推导能量方程时，除了欧拉方程之外，也还会加上热能方程。关于这一点，大家看看巴切勒的书就清楚了。
.......................
.......................
++++++++++++++++++++++

巴切勒书中的伯努里方程是含有热能项的。

[ 本帖最后由 coolboy 于 2012-6-10 23:42 编辑 ]

onesupeng

你经常回避我的问题，其实一回答我的问题就显示你的前面评论很无知。尽管严格意义上的激波是很复杂的，但只要在无粘和激波无厚度近似（即没有厚度的、数学意义上的间断面）下，仍然满足质量、动量、和能量守恒定律。

此外，流线不连续，脸都不红一下。无知就无知，还死不承认~

流线方程：
dx1/ds=v1
dx2/ds=v2
dx3/ds=v3
你证明一下，\bf{v}=(v1,v2,v3)满足什么样的条件，能够使得\bf{x}=(x1,x2,x3)是不连续的啦？就算是速度怎么不连续，积分也是c0连续的啊？你傻啦？

USTCSUNL你也来“对事不对人”的评论评论？

题外话：如果你认为自己绝对正确，那么就是绝对错误；如果你认为自己什么都懂，那么可能什么都不懂。

[ 本帖最后由 onesupeng 于 2012-6-10 18:13 编辑 ]

通流

巴切勒书中的伯努里方程是含有热能项的。
---------------------------------------------------------

我对巴切勒的这个做法，不感冒。我并不是说不可以这样做。巴切勒选择这样，我当然也有理由不选择他的说法。不管怎么样，物理概念并没有改变。

我的观点是：伯努利方程就是机械能守恒在流体中的应用。而热能和机械能的守恒则是后来的事情。能量方程中，是用了机械能这个概念。

coolboy

说到这方法三，必然要说到流体力学中的两种不同形式的守恒律。若仅是泛泛而谈地说质量守恒、能量守恒等常常会引起误解。我在本主题帖一开始的讨论中在[8楼]还刚好说到了这两种不同形式的守恒律：

http://www.cfluid.com/bbs/viewth ... page%3D1&page=1
++++++++++++++++++++++
守恒律一般可写成两种不同的形式：（1）全导数型，（2）通量型。伯努里方程及其推导和上面[6楼]所有的讨论是建立在全导数型的表达方式上的。这时就有“沿流线的积分”及“沿流线为常数”等的说法。若采用通量型的守恒律，则我们就有（固定）流入流出面（口）的差值同体积内部源汇的守恒关系等的描述。
++++++++++++++++++++++

所谓伯努里方程全导数型的守恒方程就是指如下的能量方程：
{1}    @H/@t+u(@H/@x)+v(@H/@y)+w(@H/@z)=0
其中的H是流体单位质量的总能量。在巴切勒的书中，其（3.5.4）式的总能量包含4项，即流体的（1）动能，（2）热能（内能），（3）压力位能和（4）（重力）位能。

流体的质量一般并不满足全导数型的守恒律。它满足通量型的守恒方程，即
{2}    @[rho]/@t+@(u[rho])/@x+@(v[rho])/@y+@(w[rho])/@z=0
或
{2}    @[rho]/@t+[DEL]（[v_bold][rho]）=0

方程{1}两边乘[rho]，方程{2}两边乘H，结果相加，则我们可得
{3}    @([rho]H)/@t+[DEL]（[v_bold][rho]H）=0

即流体的总能量在满足伯努里方程全导数型守恒律的同时，也满足通量型守恒律。但注意到全导数型守恒律指的是单位质量的总能量，而通量型守恒律指的是单位体积的总能量。我们不能仅凭也听说了众所周知的“能量守恒”等等什么的就以为掌握了所有的物理。具体的物理问题需要具体的分析，这过程中数学又是必不可少的工具。

我在本主题帖一开始的[6楼]中还说到：
++++++++++++++++++++++
注二：只要描述某过程的方程能写成如下形式：@u/@t+B(@u/@x)+C(@u/@y)+D(@u/@z)=0，我们就可认为它的物理意义就是该物理量沿着速度场（B,C,D）的变化是守恒的。例如，若u所对应的是波动力学中的波包能量（或波作用量等），则方程中的（B,C,D）所对应的就是波动传播的群速度。若有人问，什么叫群速度？为什么波动能量按群速度而不是按相速度传播？一个比较高级的答案就是：出现在波动能量方程中（B,C,D）的那些位置的量刚好是波的群速度，或即那些群速度的表达式刚好出现在（B,C,D）的位置上了。
++++++++++++++++++++++

尽管有“单位质量”或“单位体积”的区别，粗粗地来讲，总能量同时满足两种不同形式的守恒律应该算是一个很好的性质了。一般情况下（如上面说到的波包的例子）能满足一种形式的守恒律就很不错了。


（待续）

[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-9-3 01:55 编辑 ]

onesupeng

继续拆台：

关于全导数型和通量型守恒，仅仅是一个居于拉格朗日体系和欧拉体系描述的区别而已

能量沿流线积分这一段，仅仅是能量守恒方程（所谓的通量型）在流管这么个特殊的控制体积的表现形式

同一个物理定理的不同表述，难道说的是两个守恒定理？难道通量型和全微分型表述的定理不一样？

一个雷诺公式都不能熟练应用的人~

第一次看到USTCSUNL里面说他很佩服某某，我心存敬畏。若干年后看到某某的发言，我觉得也不那么高深莫测。再看看这几天的发言，不合格的教书匠一个

通流

onesupeng，下面的可是你自己说的：

        呵呵，看来我要低调点

coolboy

通量型的守恒律可对包含移动激波面的有限体积分。数学上是把微分方程转化为积分方程求解，积分方程的解可以不连续。物理上则是方程推导过程中解除无限小的微元或连续介质的假设条件。失去的是（由于有限体平均）激波面流线进出的一一对应关系。

onesupeng

那应该是 积分形势和微分形式吧？这两个全导数型和通量型守恒是你自己说的还是有人这么说？反正我第一次听说，先承认我孤陋寡闻。微分形式是积分形式的一种特殊情况，没有说贝努力方程一定从微分形式能量方程推导，积分也可以，而且积分方程是更普遍。比如“Prandtl’s Essentials of Fluid Mechanics”，别的我就不翻书了。你不承认普朗特那我就没话说，如果你非用跟我抬杠，那么你证明兰姆平面上的贝努力方程，就明白不一定要“沿流线积分”。

三点：

1、流线是连续的，在激波情况即便是间断假定，也是c0连续的。

2、积分形式的守恒方程更普遍，也就是说你微分能推出来的，积分方程也一定能推出来，反之则不一定。回到激波问题，我知道很少有教材明确说贝努力能不能应用，但是我肯定地说一般意义下是不能用的，但是至少在正激波情况下能用，别的情况我懒得去看。

3、激波层仅有几个平均分子自由程这么厚，已超出连续介质的范畴，传统的流体力学控制方程不能描述，连一般的实验技术也未必能够清晰地了解里面的细节。

onesupeng

原帖由 通流 于 2012-6-10 21:40 发表

                               
登录/注册后可看大图

onesupeng，下面的可是你自己说的：

        呵呵，看来我要低调点

谢谢提醒，作为打着主流旗号的人犯下严重的基础知识性错误，我忍不住了；错了就错了，还死不承认，对别人的疑问进行调虐，这能叫我如何忍？请原谅我的粗鲁，这两天我确实有点高调。但是优易的老表规矩很多了吧？

如果学术讨论，我很乐意也很欢迎，我对待coolboy的帖子，不会胡乱说，每句话至少经过一定的思考。反而他对待我疑问的态度不敢恭维。能够回答的，他绝对一口死咬，不能够回复或者一回复就触及其江湖地位（引用优易老表的江湖地位一说）的，他就用没有意义、不值得回复、或者说问题没水准。如果用“我不懂”回复，我更尊重。

onesupeng

原帖由 通流 于 2012-6-10 21:40 发表

                               
登录/注册后可看大图

onesupeng，下面的可是你自己说的：

        呵呵，看来我要低调点

你在这个帖子很多立场和我一致，感谢

不过，假如我有知识性错误，也请指点，谢谢

通流

lighthill，巴切勒，Jameson等的人，熟悉说不上，不过报告还是听过的。总的来说，越是厉害的，越是低调。可能Jameson是个例外。