[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程？

coolboy

当然，精确的使用寿命很难确定。我想那基本原则也应该理解为一个定性化的指导原则。此外，不少设计还都有一个保险系数。象不少科学民用人造卫星的设计寿命为几年，但一般实际使用年限都是大大地（２到３倍）超过其设计年限。

shirazbj

区别在于在设计寿命内使用是有厂家保证的，寿命外使用是用户的选择。

coolboy

下一个帖子介绍了伯努利方程作为能量方程在一个具体问题中的应用：

[讨论]拉瓦尔喷管（Laval nozzle）中的声速究竟是什么？
http://cfluid.com/bbs/viewthread.php?tid=116251

[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-3-7 01:29 编辑 ]

通流

技术问题还没有搞对，就开始做广告。不怕砸牌子啊？

coolboy

伯努利方程作为能量方程与其它的动量方程、质量方程等一起而用于解决另一个类似的流体力学工程问题的例子由通流版主给出：

流体力学工程问题之一：引射器
http://www.cfluid.com/bbs/viewthread.php?tid=115351

[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-3-7 01:29 编辑 ]

zwp

我认为是能量方程，推导的时候和力和其路径做点积了，这个明显是做功即能量的形式！

coolboy

原帖由 zwp 于 2013-1-8 14:48 发表

                               
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我认为是能量方程，推导的时候和力和其路径做点积了，这个明显是做功即能量的形式！

这是挺有意思的一个视角。我再来作些补充说明。先看一下本主题帖一开始[6楼]中的初始推导：

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[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程？  [6楼]
http://www.cfluid.com/BBS/viewthread.php?tid=114265

我们在中学物理课中就已经学到了能量守恒和转换的原理，其中的一个数学定量化的例子就是质点运动过程中质点动能同重力位能之间的转换。小球抛到最高点时动能为零而位能最大，下落过场中则位能又转换为动能。巴切勒书中3.5节的一开始就又复习了这一过程的数学描述：

F=ma,   a=F/m,   d[v_bold]/dt=F/m,   d(d[s_bold]/dt)/dt=F/m.

质点的位能只与质点的位置有关，与之对应的位势力（矢量）可以表示成某一数量场（位势场）的梯度：

d[v_bold]/dt=-[DEL][PSI],   d[v_bold]/dt=-[DEL][PSI]([s_bold]),
d(d[s_bold]/dt)/dt=-[DEL][PSI],   d(d[s_bold]/dt)/dt= -[DEL][PSI]([s_bold]).

上面（具有位势力）的动量方程两边同时乘以速度之后可表达成全微分的形式：

[v_bold].d[v_bold]/dt=-(d[s_bold]/dt).[DEL][PSI],
d{([v_bold]^2/2)+[PSI]}/dt=0.

这里，“两边同时乘以速度”即意味着把动量方程转换为能量方程了。
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在上面的推导中，右端项（单位质量的）外力项由于可以写成某势函数（即能量）的空间梯度，从而右端项被移到了左端，最后与动能项合并成总能量的守恒。若外力项仍然以力的形式留在右端，则动量方程两边同时乘以速度之后可得：

[v_bold].(d[v_bold]/dt)=(F/m).(d[s_bold]/dt)

消去两边的dt因子可得：

[v_bold].(d[v_bold])=(F/m).d[s_bold]

即：d(v*v/2)=(F/m).d[s_bold]

这时方程的右边是力（F/m)和距离（d[s_bold]）的点积做功，而左边则刚好是质点由此而产生的能量变化。



[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-3-7 01:28 编辑 ]

coolboy

在本主题帖的[188楼]中已提到：

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[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程？  [188楼]
http://www.cfluid.com/bbs/viewth ... age%3D1&page=13

伯努里方程中守恒的的总能量包含4项，即流体的（1）动能，（2）热能（内能），（3）压力位能和（4）（重力）位能。
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根据上面的分析我们可推知，这四项能量中只有第一项的动能是一开始就出现在动量方程的左端的。其它的三项一开始都可以认为是以外力（F/m)和距离（d[s_bold]）的点积做功的形式出现在右端的。只是由于这种特殊形式的外力可以表达成位势场（能量）的空间梯度，从而我们可以把它们移到左端与动能项合并积分而得出能量的守恒方程。

我[6楼]和[40楼]都说到了对伯努里方程的理解过程中把p理解为“能量”的重要性，这里再重复强调一下：

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（2）我们以前所遇到的“重力-位能”只是一个特例。更一般的情况是：只要力可以表示成“-[DEL][PSI]”，则我们就有“力-能”的关系，即 -[DEL][PSI]表示“力”，[PSI]表示“能”。认识清楚这一点其实是很重要的。有些人对伯努里方程的误解可能也有这个原因。欧拉方程中有一项 是压力梯度项：“-[DEL]p”。大家看到p出现在伯努里方程中，而p又称作压力，既然是“力”，想想那也同动量有关了。但实际上，这里的p应该理解为“能”。例如，对于理想气体，压力p正比于温度，而温度正是气体内能的度量。
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我曾经说过，天体物理学中对流体力学等的介绍及应用相对于工程流体力学来说视角上确实是要宽广一些。我并还发了一个帖子来举例说明这一点：

[讨论]拉瓦尔喷管（Laval nozzle）中的声速究竟是什么？
http://www.cfluid.com/BBS/viewthread.php?tid=116251

对于伯努里方程的理解其实也有类似的例子。天体物理学中的流体力学除了中性流体之外也还主要研究带电粒子的等离子流体。等离子流体除了受到我们所熟知的中性流体所受到的力之外，还受电磁力的作用。这时，等离子流体的总能量除了上面所列的四项之外，也还要加上一项“电磁能”。此外，根据上面的分析，假若等离子流体所受的电磁力刚好能表达成电磁能的空间梯度的话，则我们就应该可以得到一种推广形式的伯努里方程，其中的总能量也还包括了电磁能。实际上也正是如此。在一定的近似条件下，等离子流体所受的电磁力是磁能的空间梯度，它在等离子流体动量和能量方程中的效应可用p+B*B/(2*[mu])来取代中性流体中的p来表示。这里，B是磁场强度，[mu]是磁导率，B*B/(2*[mu])正是磁场能量，可见p在这里也是能量。



[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-3-7 01:27 编辑 ]

平原上少年

分两类：第一，不可压无粘条件下，说伯努利方程是能量方程和动量方程是等价的，前面有人也说，牛顿第一定律、第二定律、机械能守恒三者不是相互独立的；第二，如果仅仅是无粘流体，那么考虑内能的引入，机械能守恒不再成立，热力学第一定律必须引入，这时候伯努利方程是地道的能量方程。

coolboy

机械能、内能、电磁能都是能量。怎么机械能守恒就不叫能量守恒了呢？

气体的内能正比于气体的温度，而温度又是分子运动平均平动动能的度量。换句话说，气体的内能也可理解为是分子运动其机械能的度量。无论是分子运动的机械能还是物体运动的机械能都是地地道道的能量。

coolboy

大家若是仔细、耐心地看一看流体力学书中（如Batchelor或Landau的书）关于纳维－斯托克斯方程的推导，可能会感到其黏性热力学（能量）方程是“凑”出来的而不是真正推导出来的。动量方程中多出了一项黏性项之后，也就多出了一项能量耗散项。这耗散了的动能必须转换成热能，所以就在热力学方程中再加上一项以保证总能量的守恒。因为有黏性耗散生热，故这时就感到热力学方程是必不可少才能使得对问题的描述比较完善（“凑”的感觉）。

戴世强老师曾写过一篇博文简述了纳维-斯托克斯的导出过程。其中提到了两种不同的推导方法：：
++++++++++++++++++++++++++++
怎样进行数学建模？（续）——与青年朋友谈科研（10）
http://blog.sciencenet.cn/home.p ... =blog&id=369656

大体说来，推导NS方程可采取宏观演绎方法和微观-介观演绎方法，前者采用连续介质假设，通过控制体积或流体微团的分析，建立一个完整的体系；微观-介观演绎方法采用统计物理手段，从速度分布密度所满足的波耳兹曼方程，通过对这一方程的各种形式的取矩来导得NS方程。本文主要讨论前者。
++++++++++++++++++++++++++++

一般流体力学书中的宏观演绎方法就不可能避免我上面所说的“黏性热力学（能量）方程是凑出来”的痕迹。若使用微观-介观演绎方法，则整个纳维-斯托克斯方程组中的各个不同的方程都是同一Boltzmann方程取各阶距之后的近似方程而已。此时，动量方程同热力学方程在同一近似层次上同时推出。机械能同内能的转换看上去也确是自然推导的结果。

mpll

伯努利方程是个恒等式，描述的是研究两断面的能量守恒。
动力学解释式是变量关系式，描述的是dU/dt.

coolboy

原帖由 mpll 于 2013-3-12 11:30 发表

                               
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伯努利方程是个恒等式，描述的是研究两断面的能量守恒。
动力学解释式是变量关系式，描述的是dU/dt.

正是。
动量方程两边同时乘以速度只是把动量方程转换成了能量方程。这时的能量方程还不是伯努利方程。对此能量方程沿流线积分所得到的总能量守恒的恒等式才称作为伯努利方程。

平原上少年

分子运动的机械能是无法在连续介质框架内描述的，只能用系综平衡假设将之等价为内能，才能用连续介质来描述，这才有伯努利方程。把分子运动当做机械能，只有在质点系的描述下才成立。
关于温度和动能的量纲相同，而本质有异的讨论在20世纪初就有，可以参考谈庆明老师的量纲分析一书，在开头的几页记载了大家如瑞利等人关于这个概念的讨论。

另外，机械能守恒是能量守恒，所以机械能守恒时，伯努利方程是能量方程，但同时说它是动量方程也没错，因为此时两者可以相互转化，是等价的，说是哪种方程不存在本质差异。

[ 本帖最后由 平原上少年 于 2013-4-12 10:25 编辑 ]

coolboy

原帖由 平原上少年 于 2013-4-12 10:21 发表

                               
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分子运动的机械能是无法在连续介质框架内描述的，只能用系综平衡假设将之等价为内能，才能用连续介质来描述，这才有伯努利方程。把分子运动当做机械能，只有在质点系的描述下才成立。
关于温度和动能的量纲相同，而本质有异的讨论在20世纪初就有，可以参考谈庆明老师的量纲分析一书，在开头的几页记载了大家如瑞利等人关于这个概念的讨论。

另外，机械能守恒是能量守恒，所以机械能守恒时，伯努利方程是能量方程，但同时说它是动量方程也没错，因为此时两者可以相互转化，是等价的，说是哪种方程不存在本质差异。

不可压条件下的伯努利方程是：

(u*u+v*v+w*w)/2 + gz + p/[rho] = 常数，   沿流线。

平原上少年同学要是真的能从此一个方程推出关于(u,v,w)的三个速度分量的动量方程的话，不妨在此演示一下。请不要从哲学的、抽象的、想象式的角度来描述。就一步步地从数学、物理的原理来推导。