[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程？

coolboy

我在本主题帖一开始的[12楼]就提到了这类错误的通病：

原帖由 coolboy 于 2012-4-2 01:56 发表

                               
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“当局者迷，旁观者清。” 我认为通流版主及有些人的错误或误解的根源是：在习惯性或熟视无睹式地老说着“沿流线积分”的这句话时，其实并不清楚这句话的真实含义。

类似地，在这里平原上少年同学在说到“因为此时两者可以相互转化，是等价的”这句话时，其实并不清楚这句话的真实含义。

[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-4-12 22:37 编辑 ]

通流

我想如果coolboy理解牛顿定律和热力学定律的内容，就不会试图用数学来证明自己的那些观点了。我想，能量形式的方程和我们一般说的能量方程是有区别的。一个是数学的表达形式，一个是物理学基本定律。
coolboy没有必要有点沾沾自喜的觉得，用那么几个数学公式就能把物理学定律改成了物理学定理了。

平原上少年

简单起见推个二维的吧，三维的复杂一点。
沿流线：有uy (u对y的导数)=vx, 对伯努利方程(u*u+v*v)/2+gy+p/rho=C关于x求导，得到u*ux+v*vx+px/rho=0,利用流线关系有：u*ux+v*uy+px/rho=0;同理可以推得y方向的NS方程。
这背后的等价关系，来自于机械能守恒不是独立的守恒关系，可以由牛顿定律推得。因此，能够相互转化几乎是一定的。

原帖由 coolboy 于 2013-4-12 22:32 发表

                               
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不可压条件下的伯努利方程是：

(u*u+v*v+w*w)/2 + gz + p/[rho] = 常数，   沿流线。

平原上少年同学要是真的能从此一个方程推出关于(u,v,w)的三个速度分量的动量方程的话，不妨在此演示一下。请不要从哲学的 ...

平原上少年

说的很有道理，如果说开始时对背后的物理定律是比较清楚的话，那么具体如何应用物理定律推导出结果，是比较模糊的。三维的比较复杂，纯数学的话，可能要用到正交曲线坐标的相关知识，关键在于利用流线这个条件，我还没仔细推过，不过可以推导则是一定的。

[ 本帖最后由 平原上少年 于 2013-4-13 13:51 编辑 ]

coolboy

原帖由 平原上少年 于 2013-4-13 13:33 发表

                               
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简单起见推个二维的吧，三维的复杂一点。
沿流线：有uy (u对y的导数)=vx, 对伯努利方程(u*u+v*v)/2+gy+p/rho=C关于x求导，得到u*ux+v*vx+px/rho=0,利用流线关系有：u*ux+v*uy+px/rho=0;同理可以推得y方向的NS方程。
这背后的等价关系，来自于机械能守恒不是独立的守恒关系，可以由牛顿定律推得。因此，能够相互转化几乎是一定的。

(u*u+v*v+w*w)/2 + gz + p/[rho] = 常数，   沿流线。

上面的常数是“沿流线”的常数。你对x和y的偏导并不可能是同时沿流线，这右端项怎么就消失了呢？

除非那常数是在全流域内处处为常数的同一常数。关于这一特例，在[52楼]早已经讨论过了：

原帖由 coolboy 于 2012-4-3 08:01 发表

                               
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...................
巴切勒书的6.2节和朗道书中的第9节中的伯努里方程确实是从动量方程直接推出来的。但那仅仅是对无旋流场这一特殊条件下的一个特例。那个积分常数也是在整个流场处处相同的同一常数。在知道了一般结果的情形下，我们不应该用特例来说事。例如，我们已经知道了质点运动过程中质点动能同重力位能之间的转换这个一般结果，我们就不应该用一个特例（质点在同一高度的等位面上运动）来说质点动能同重力位能之间是无法转换的。

用特例或特例中的特例来说事都不具有充分的说服力。

onesupeng

可是，贝努力方程本身就是一个特例啊，你不自相矛盾嘛

贴大字报的锻炼果然没有白费，能一会18楼一会52楼还搞的五颜六色的

平原上少年

沿流线有：Cs*<S>(沿s单位矢量)=0=Cx*xs*<x>+Cy*ys*<y>=0,从而Cx=Cy=0。关键点在于沿流线成立。

原帖由 coolboy 于 2013-4-13 22:29 发表

                               
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(u*u+v*v+w*w)/2 + gz + p/[rho] = 常数，   沿流线。

上面的常数是“沿流线”的常数。你对x和y的偏导并不可能是同时沿流线，这右端项怎么就消失了呢？

除非那常数是在全流域内处处为常数的同一常数。关于 ...

coolboy

原帖由 平原上少年 于 2013-3-11 19:30 发表

                               
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分两类：第一，不可压无粘条件下，说伯努利方程是能量方程和动量方程是等价的，前面有人也说，牛顿第一定律、第二定律、机械能守恒三者不是相互独立的；第二，如果仅仅是无粘流体，那么考虑内能的引入，机械能守恒不再成立，热力学第一定律必须引入，这时候伯努利方程是地道的能量方程。

如果不是从数学、物理学的角度，也即不是从伯努利方程的具体推导过程来论述，而只是从“贴大字报”的形式，也即从“哲学的、抽象的、想象式的角度来描述”，则“动量方程学派”在更一般的情形下也总能始终坚持“伯努利方程就是动量方程”的论点：

何谓“地道的能量方程”？？你能仅仅用“热力学第一定律”推导出“伯努利方程”吗？？？你是无论如何也推不出来的。在任何条件下，你还是要用到动量方程的！所以最多你也只能说“伯努利方程是50%的能量方程加50%的动量方程”。但是，众所周知，动量方程是由三个分量组成的方程组，而热力学第一定律只有一个方程，更不要说在诸如“不可压”等条件下伯努利方程完全是从动量方程推出来的呢！！所以，我们可以无可辩驳地声称：伯努利方程就是动量方程！不是能！就是动！就是动！！就是动！！！

coolboy

当然，我自己的出发点、手段、目的在本主题帖[6楼]的开篇解答帖子中就早已经清楚表明了：

原帖由 coolboy 于 2012-4-1 13:06 发表

                               
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伯努里方程在一般流体力学的教科书中都有推导。例如，巴切勒经典的流体力学书（G. K. Batchelor: In Introduction to Fluid Dynamics）中就有完整的推导。从那些推导中可明显看出伯努里方程是一个能量方程。不过，在一些论坛的讨论中，有时也能看到有些人会有意无意地把它当作一个动量方程来推导或理解。发这个帖子的目的之一也就是说说自己的理解为什么伯努里方程不能作为动量方程来理解。另一个更重要的目的是想通过这个例子来简单介绍一下如何对一类偏微分方程[一阶拟线性偏微分方程（组）]进行求解。记得早年国内理工科非数学专业（本科）数理方程的教科书中很少强调这部分内容，而偏偏流体力学的不少基本方程是一阶（而非二阶）偏微分方程。
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平原上少年

汗，抬杠是没意思的。没人说它不是能量方程，关键是一定条件下，它和动量方程等价；承认在一定条件下两者是可以相互转换的才算是客观。

我仔细看了下，无粘定常不可压条件下，能量方程不能推出ns方程；伯努利方程之所以能够推出动量方程，大约在于它能够全微分，这就限定了伯努利方程是一维的，只有沿流线成立，这时候从能量方程推出动量方程是可行的，不牵涉到矢量问题。这是从你所提倡的数学的角度来解释这个问题，当然是受了你的观点的启发，看你的帖子的过程中确实受益匪浅。

至于你认为物理原理是唯象的，我觉得不确切；从动量守恒和热力学定律推导出ns 方程和能量方程是在任何一本像样的流体力学教科书中都能找到的，而从能量方程推出伯努利方程亦然，这推导的过程中除了数学技巧，没有增加物理假设；因此，物理定律和各个方程是明确对应的，如果这种情况下，还认为物理原理是唯象的，那是不是要贴出教科书的推导步骤才算确切？讨论问题时为简单起见，当然就忽略细节了，如果你认为细节中有新东西是不该忽略的，可以详细贴出来，并指出为什么不该忽略；简单的说物理原理是唯象的，这种提法才是唯象而笼统的，不利于问题的讨论。

原帖由 coolboy 于 2013-4-15 00:01 发表

                               
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如果不是从数学、物理学的角度，也即不是从伯努利方程的具体推导过程来论述，而只是从“贴大字报”的形式，也即从“哲学的、抽象的、想象式的角度来描述”，则“动量方程学派”在更一般的情形下也总能始终坚持“伯 ...

coolboy

原帖由 平原上少年 于 2013-4-15 09:42 发表

                               
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我仔细看了下，无粘定常不可压条件下，能量方程不能推出ns方程；伯努利方程之所以能够推出动量方程，大约在于它能够全微分，这就限定了伯努利方程是一维的，只有沿流线成立，这时候从能量方程推出动量方程是可行的，不牵涉到矢量问题。

“沿流线”或“沿流线积分”是伯努利方程的特色，是理解掌握伯努利方程之关键所在，当然也是一般人因忽略这一点而产生误解之根源所在。我在一开始就说了这一点，后面也多次提到。既然是“沿流线”或“是一维的”，那不同流线上的积分常数（C）也就不会一样的了，你怎么推来推去地会推出这C随x及y的偏导数都为零呢？既然是一维的问题，怎么又不奇怪自己推出了一个二维方程组？看不出你上面推导中的Cs是矢量还是标量，无法理解你数学推导的逻辑，也看不出你知道求解（积分）常微分方程同偏微分方程的本质区别，我只能到此为止了。也许你再附加些说明或条件从而使得那个C处处是同一常数及使得你的推导在数学上成立。但这一特例在上面的[275楼]已经说明。既然没有了“沿流线”或“是一维的”的限制，则也就失去了伯努利方程的特色了。

coolboy

（1） 伯努利方程是能量方程沿流线的积分，对。
（2） 伯努利方程是动量方程沿流线的积分，错。

上面“对”和“错”的区别或理解也就是对“沿流线”或“沿流线的积分”的正确和错误的理解。流线就是下方程数学上的“特征线”：

A(x,y,z,t,u)(@u/@t)+B(x,y,z,t,u)(@u/@x)
     +C(x,y,z,t,u)(@u/@y)+D(x,y,z,t,u)(@u/@z)=f(x,y,z,t,u)。

这“流线”或“特征线”由方程的系数（A，B，C，D）来确定，但此方程各系数所对应的项是同一因变量u，这只有在能量方程的条件下才能实现。动量方程各导数项的因变量并不相同，从而也就没有所指（而非广义）的“特征线”或“沿流线”之说了。

这些在我前面的一些帖子中都已解释过了。

[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-4-15 11:41 编辑 ]

平原上少年

这里的一维是沿正交曲线坐标系，投影到直角坐标系下，当然是二维的。坐标变换而已。上面的<>表示单位矢量。

原帖由 coolboy 于 2013-4-15 11:21 发表

                               
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“沿流线”或“沿流线积分”是伯努利方程的特色，是理解掌握伯努利方程之关键所在，当然也是一般人因忽略这一点而产生误解之根源所在。我在一开始就说了这一点，后面也多次提到。既然是“沿流线”或“是一维的”， ...

coolboy

除了在[52楼]讨论过的三维无旋流场关于积分常数是在整个流场处处相同的同一常数的特例之外，在[76楼]至[91楼]还同shirazbj讨论了进一步又是水平一维这一特例中的特例：

http://www.cfluid.com/bbs/viewth ... page%3D1&page=6

这时，非但积分常数在整个流场是处处相同的同一常数，就连流体速度和压力等所有流场变量也是处处为常数。但流体速度处处为常数同流体速度处处为零的静止流体是等价的。对于静止流体试图再作动量-能量方程之转换及讨论什么“沿流线”之类的应该很清楚是没什么物理意义的事了。

coolboy

原帖由 coolboy 于 2013-4-15 11:39 发表

                               
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（1） 伯努利方程是能量方程沿流线的积分，对。
（2） 伯努利方程是动量方程沿流线的积分，错。

上面“对”和“错”的区别或理解也就是对“沿流线”或“沿流线的积分”的正确和错误的理解。流线就是下方程数学上的“特征线”：

A(x,y,z,t,u)(@u/@t)+B(x,y,z,t,u)(@u/@x)
     +C(x,y,z,t,u)(@u/@y)+D(x,y,z,t,u)(@u/@z)=f(x,y,z,t,u)。

这“流线”或“特征线”由方程的系数（A，B，C，D）来确定，但此方程各系数所对应的项是同一因变量u，这只有在能量方程的条件下才能实现。动量方程各导数项的因变量并不相同，从而也就没有所指（而非广义）的“特征线”或“沿流线”之说了。

上面这段解释把“流线”同“特征线”对应了起来，其实也就是用具体例子把有时是哲学的或想象式的物理现象同定量的数学方程联系起来。如果有些人没听说过特征线的概念，也不看一开始[6楼]的具体解释，光凭对“流线”概念想象式的理解，则多半又会疑惑：这流体力学中的“流线”不就是沿速度场画出来的曲线嘛！怎么还有能量方程的流线是对的而动量方程的流线是错的这一说？

其实“沿流线的积分”的涵义也就是某个物理量可以写成沿那速度场的全导数或全微分。对于含有偏导数项的方程来说，只有写成全导数或全微分的形式之后才能方便地“积分”出来。换句话说，在这里“积分”一词也是有特定的数学涵义而并非仅仅是一个大致的概念术语而已，你得把它积出来才行。当然，若知道了这些背景（即沿那速度场的全导数或全微分）之后，我们也还能从物理的角度来说：总能量（沿流线）守恒但动量并不守恒。

啊！！“动量并不守恒？？”曾经学过记得“动量守恒”、“动量定理”等的一些人自然又会从物理学的角度对这一概念从“哲学的、抽象的、想象式的角度”来讨论一番。本主题帖从[115楼]到[153楼]中的不少讨论就大致属于这类性质。说来说去，也还是对[6楼]中所叙述的“沿流线的积分”的概念和方法不是很清楚。


再简单总结一下：

流体的总能量沿速度场是守恒的，即可以写成沿速度场或即“特征线”的全导数。既然是全导数，则就可以对之进行积分，即沿流线积分，所得积分表达式（常数）就是伯努利方程。

流体的动量沿速度场不守恒，即不可以写成沿速度场的全导数。从而也就不可以对之进行积分，即得不出伯努利方程。