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发表于 2013-1-12 15:44:43
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原帖由 zwp 于 2013-1-8 14:48 发表
我认为是能量方程,推导的时候和力和其路径做点积了,这个明显是做功即能量的形式!
这是挺有意思的一个视角。我再来作些补充说明。先看一下本主题帖一开始[6楼]中的初始推导:
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[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程? [6楼]
http://www.cfluid.com/BBS/viewthread.php?tid=114265
我们在中学物理课中就已经学到了能量守恒和转换的原理,其中的一个数学定量化的例子就是质点运动过程中质点动能同重力位能之间的转换。小球抛到最高点时动能为零而位能最大,下落过场中则位能又转换为动能。巴切勒书中3.5节的一开始就又复习了这一过程的数学描述:
F=ma, a=F/m, d[v_bold]/dt=F/m, d(d[s_bold]/dt)/dt=F/m.
质点的位能只与质点的位置有关,与之对应的位势力(矢量)可以表示成某一数量场(位势场)的梯度:
d[v_bold]/dt=-[DEL][PSI], d[v_bold]/dt=-[DEL][PSI]([s_bold]),
d(d[s_bold]/dt)/dt=-[DEL][PSI], d(d[s_bold]/dt)/dt= -[DEL][PSI]([s_bold]).
上面(具有位势力)的动量方程两边同时乘以速度之后可表达成全微分的形式:
[v_bold].d[v_bold]/dt=-(d[s_bold]/dt).[DEL][PSI],
d{([v_bold]^2/2)+[PSI]}/dt=0.
这里,“两边同时乘以速度”即意味着把动量方程转换为能量方程了。
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在上面的推导中,右端项(单位质量的)外力项由于可以写成某势函数(即能量)的空间梯度,从而右端项被移到了左端,最后与动能项合并成总能量的守恒。若外力项仍然以力的形式留在右端,则动量方程两边同时乘以速度之后可得:
[v_bold].(d[v_bold]/dt)=(F/m).(d[s_bold]/dt)
消去两边的dt因子可得:
[v_bold].(d[v_bold])=(F/m).d[s_bold]
即:d(v*v/2)=(F/m).d[s_bold]
这时方程的右边是力(F/m)和距离(d[s_bold])的点积做功,而左边则刚好是质点由此而产生的能量变化。
[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-3-7 01:28 编辑 ] |
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