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发表于 2013-4-25 11:25:21
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原帖由 coolboy 于 2013-4-15 11:39 发表
(1) 伯努利方程是能量方程沿流线的积分,对。
(2) 伯努利方程是动量方程沿流线的积分,错。
上面“对”和“错”的区别或理解也就是对“沿流线”或“沿流线的积分”的正确和错误的理解。流线就是下方程数学上的“特征线”:
A(x,y,z,t,u)(@u/@t)+B(x,y,z,t,u)(@u/@x)
+C(x,y,z,t,u)(@u/@y)+D(x,y,z,t,u)(@u/@z)=f(x,y,z,t,u)。
这“流线”或“特征线”由方程的系数(A,B,C,D)来确定,但此方程各系数所对应的项是同一因变量u,这只有在能量方程的条件下才能实现。动量方程各导数项的因变量并不相同,从而也就没有所指(而非广义)的“特征线”或“沿流线”之说了。
上面这段解释把“流线”同“特征线”对应了起来,其实也就是用具体例子把有时是哲学的或想象式的物理现象同定量的数学方程联系起来。如果有些人没听说过特征线的概念,也不看一开始[6楼]的具体解释,光凭对“流线”概念想象式的理解,则多半又会疑惑:这流体力学中的“流线”不就是沿速度场画出来的曲线嘛!怎么还有能量方程的流线是对的而动量方程的流线是错的这一说?
其实“沿流线的积分”的涵义也就是某个物理量可以写成沿那速度场的全导数或全微分。对于含有偏导数项的方程来说,只有写成全导数或全微分的形式之后才能方便地“积分”出来。换句话说,在这里“积分”一词也是有特定的数学涵义而并非仅仅是一个大致的概念术语而已,你得把它积出来才行。当然,若知道了这些背景(即沿那速度场的全导数或全微分)之后,我们也还能从物理的角度来说:总能量(沿流线)守恒但动量并不守恒。
啊!!“动量并不守恒??”曾经学过记得“动量守恒”、“动量定理”等的一些人自然又会从物理学的角度对这一概念从“哲学的、抽象的、想象式的角度”来讨论一番。本主题帖从[115楼]到[153楼]中的不少讨论就大致属于这类性质。说来说去,也还是对[6楼]中所叙述的“沿流线的积分”的概念和方法不是很清楚。
再简单总结一下:
流体的总能量沿速度场是守恒的,即可以写成沿速度场或即“特征线”的全导数。既然是全导数,则就可以对之进行积分,即沿流线积分,所得积分表达式(常数)就是伯努利方程。
流体的动量沿速度场不守恒,即不可以写成沿速度场的全导数。从而也就不可以对之进行积分,即得不出伯努利方程。
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