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发表于 2013-11-12 08:12:22
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本帖最后由 coolboy 于 2014-11-29 01:00 编辑
与这一主题帖相关的一篇论文目前已发表了，现就有关背景知识对这一主题再作一简单介绍和总结。
在[1楼]一开始的介绍中就说到：“拉瓦尔喷管（Laval nozzle）是指截面积先逐渐收缩后逐渐扩张的喷管。喷管中的气体从入口处的亚声速气流渐渐地被加速成超声速气流。”
接着应该问的一个问题自然是：从亚音速被加速成超音速的物理机制是什么？答：力产生加速度。由上游入口处的加热高压或（及）下游出口处的冷却低压所形成的压力梯度（或即压强梯度）而产生的气压梯度力应该可以产生所需要的加速度。又注意到动量方程的形式是：du/dt=-[DEL]p/rho+...，即是单位质量的力导致速度的变化。当气流经过扩张的喷管时膨胀从而多半会导致密度下降，或即出口处的降压同时又降密度会更有效地加速气流。也正因如此，通常通俗一点就说：气体经过拉瓦尔喷管向真空膨胀而产生了超音速流场。
更定量一点的描述则需要建立一个数学物理模式来进行模拟。这里，既然说到了“向真空膨涨”，则很多相关的问题也就与所谓的“稀薄气体”物理学相联系了。“稀薄气体”有很长的分子平均自由程，从而其热传导（及分子扩散）的作用很大。在数学上则体现出在此时关于能量的偏微分方程是二阶方程，在下游边界处也需设定边界条件才能对方程进行求解。前几天在另一个帖子的讨论中还刚好说到了这个问题：
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[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程？ [286楼]
http://www.cfluid.com/thread-114265-20-1.html
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从数学物理（方程）的角度来讲，首先应该搞清楚所对应的方程究竟是双曲型的波动方程，还是抛物型（或椭圆形）的热传导、扩散方程。对于前者，我们只能给出入口或出口处的一个条件。若同时给出两边界条件，则理论上应该导致问题的矛盾无解。对于后者，则我们必须具备两个边界条件才能数学求解。
这里还能看到；对于给定的某个流场，边界条件的设置同描述流场物理过程的数学模式直接相关。无黏流体的数学模式通常对应于双曲型方程。若在方程中加入黏性项（实际黏性很小，但总是存在的）则应该意识到这一过程更重要的是改变了方程的特性及相关的边界条件的设置。
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为了考察气流及相应的各个物理量如何从亚音速到超音速的变化，在下游压力为零处（p=0）设定下游边界条件就是一个很自然的选择。许多年前有人就这么做了。尽管所得结果使作者出名了，得了许多奖，但学术界至今为止一直有着不同的反对意见。认为在压力为零附近的“稀薄气体”已不再是连续介质的流体了，怎么还能用流体力学的方程组来描述它的变化呢？事实上连续介质的的假定或即流体力学的纳维-斯托克斯方程组只是在Knudsen数Kn大致小于1的条件下才成立。
后来计算机发展了，有人就用DSMC(Direct Simulation Monte Carlo)方法来模拟稀薄气体的流动，尤其是可以比较精确模拟气体经过拉瓦尔喷管从亚音速到超音速的变化而不受所谓p=0处的边界条件的影响（DSMC是解各粒子运动的常微分方程，只涉及粒子的初值设定）。不久前，在某相关领域中有一个不错的研究发现：其实在大家一直认为气体应该从亚音速到超音速变化的一个常见的参数区间内，对DSMC的粒子速度分布取平均之后，其平均速度始终是亚音速的。尽管气流在经过拉瓦尔喷管时受到加速，但其从未达到音速。由于流体中的不少特征或信号是由声波传播的，一般认为，气流是否超音速所对应的不同流动的物理现象是有着本质的区别的。现在更精确的DSMC模拟发现某一类流动其实并非是人们所一直认为的“从亚音速到超音速的转变”，而是始终是亚音速流动。这自然是挺重要的结果了。
我看了一下那DSMC模拟所得的速度值，立刻就知道是怎么回事了，也就接着提出了本主题帖的主要问题：“[讨论]拉瓦尔喷管（Laval nozzle）中的声速究竟是什么？”在随后的讨论中也确实证实了我的猜想：很多从事与拉瓦尔喷管相关课题研究的科研工作者（无关乎理科工科）其实并不清楚这从亚音速到超音速的转化在一般情况下是如何推导出来的这一基础知识。“非严格绝热膨胀的理想气体，转折点的速度怎么可能总是sqrt（R*T）呢？这个我倒是第一次听说。”很自然，很多相关科研工作者也从没听说过可去奇点，等等。
我建立的模式是流体模式，下游的边界条件就设在Knudsen数为1（Kn=1）处。由于流体的密度、温度等随着流体加热率等的变化而改变，故边界条件在空间的位置并非固定，也会随着不同物理参数或积分叠代过程而改变。此外，在p=0处的变量设置是简单固定的。但在Kn=1处，我们无法知道各变量或其导数的具体值，但我们可大致推出各变量和其导数之间存在一个关系。这一具体定量关系则由DSMC在各种不同参数条件下模拟而得。换句话说，尽管模式是一个流体模式但其下游边界条件的设置却很大程度上依赖于DSMC的模拟结果。除了计算速度之外，这里再给出一个曾经提到的为何使用流体模式（而非Boltzmann方程或DSMC模式）的原因：
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现在还有人搞DSMC吗？？？ [11楼，12楼]
http://www.cfluid.com/thread-45479-1-3.html
DSMC多应用于稀薄气体流动的模拟。使用DSMC时有几个先决条件。其中就有多重粒子同时碰撞效应是可略的，碰撞时间远远小于碰撞之间的时间。这两个条件对于液体和固体可能就不适合了，即这里还并不仅仅是计算量的问题。Boltzmann方程似乎是比纳维－斯托克斯方程更一般的方程，其实并不尽然。以前有个junior曾提到过分子的平动温度、转动温度和振动温度之区别。这里，转动温度和振动温度就是分子内能的度量。在连续介质的框架中，转动温度和振动温度也能同其他流体变量一起求出。Boltzmann方程对稀薄气体流动的描述尽管对平动温度的描述是更细致了，但它却忽略了分子的内能。DSMC的物理过程描述是建立在每一个分子上的，故它可以很方便地包含分子的内能的效应。
最近灌水一直是关于拉瓦尔喷管（Laval nozzle）的事：
[讨论]拉瓦尔喷管（Laval nozzle）中的声速究竟是什么？
http://www.cfluid.com/thread-116251-1-2.html
怎么又会联系到DSMC上来了呢？为了能得到喷管中尽可能大的流速，通流在讨论的解释中提到了在下游处降压。我的叙述估算中也提到了可使得出口处气体温度为零（T=0）来获得最大速度。当压力和温度都很小的时候，流体就变成了稀薄气体。这时，纳维－斯托克斯方程有可能都不适用了。至少，在有些问题中，在出口处边界条件的设置就不再是简单的给定流体变量或其导数值。更复杂完整一点的，则是把纳维－斯托克斯方程同DSMC偶合起来求解。上、中游处可能是纳维－斯托克斯方程起主导作用，下游处则是由DSMC给出物理解。
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发表于 2012-12-17 09:45:37
