隐式时间离散和空间离散格式的一致性讨论

流星客

最近在调试程序中发现 HLLC格式会出现周期性振荡的定常解，收敛问题不是很好。
参考OVERFLow 关于HLLC类格式的修正时，提到了通量离散格式与时间推进中的隐式因子分裂
的一致性问题。具体讲是
LHS 左端项进行隐式求解过程中需要 A= DF/DQ的雅克比矩阵，通常采用 A = A+ +  A-进行分裂
然后采用特征值，进行对角化处理LU分裂，提高求解效率，详细不赘述。
在RHS右端项中，CFD的核心所在，一直在发展。从 VAN LEER 的FVS 到ROE的近似黎曼方法。
其中ROE-FDS采用的矩阵分裂和FVS不同。但是对一个程序来说，LHS的离散项方法唯一的，通常采用
的是steger-WARMING的分裂方法等。从形式上，fvs和fds 与之前的AF LU-SGS 和adi等方法可以说
没有什么问题。
  后来出现的AUSM类格式 HLLC HLLE HLL等格式采用了质量通量的形式进行离散，相应的离散后FL和FR的
形式FVS基本一致，但是在亚跨声速下， FL+FR -D 的形式发生变化，对应的 A发生变化，这一点
LIOU MENG SING 先生在一片文献中提到（ AUSM 对OVERFLOw的改进中）。尤其是近年
HLLE等格式广泛应用，但是其特征值发生变化，需要进行修正。  而在隐式求解过程中，hll格式与SSOR格式
lu-sgs等格式进行联合求解，而基于节省计算资源需求出发的 AF, DDADI等方法因其存在特征分裂，需要特征值
进行对角化处理等，具体我不是十分清楚。相关文献中回避了该问题。
大量文献中关于HLLC等格式的应用是在显式RK格式中进行精度和稳定性分析的。
欢迎大家对 隐式LHS和显式的RHS 线化的 通量矩阵的一致性对求解精度和收敛效率，稳定性等问题进行讨论和探讨。

[ 本帖最后由 流星客 于 2012-10-19 14:55 编辑 ]

lwd1981

hyperlwd
我的几点看法：
（1）一般，为了简单，左端项LHS通常都不直接采用原始的RHS，而是采用一阶精度的一些格式，常用的有steger-WARMING，Roe等。主要是这些格式的A= DF/DQ的雅克比矩阵分裂起来计算简单，而且一阶稳定性较高阶格式好。直接采用原始的带有高阶信息的RHS求其Jaccbi，构造隐式格式可能会不稳定。

（2）左端项进行各种近似处理之后，最终化为L*DQ=RHS,的形式，不同的方法的区别在于L矩阵对于DRHS/DQ的近似程度不同。正由于近似程度不同，所以收敛速率和稳定性不同。一般而言，愈精确，收敛愈快，稳定性也愈好！

（3）从您讨论的问题来看，属于定常问题（非定常采用双时间步长方法），对于定常问题，目标在于RHS=0，从而最终L*DQ=0，也就是说只要能够收敛，左端项对精度不应该有什么影响。但是对稳定性和收敛行为可能有较大的影响。

（4）“在亚跨声速下， FL+FR -D 的形式发生变化，对应的A发生变化，这一点 LIOU MENG SING 先生在一片文献中提到（AUSM 对OVERFLOw的改进中）”麻烦您把原文贴出来给大家看看，我也顺便学习一下，谢谢，呵呵


autofly
在AIAA 2000-4404 （） 的文献中，具体题目记得不清楚了。就是AUSM 格式在 OVERFLOW中的应用研究。
文献本身不在本机上，不好上传，十分抱歉。

hyperlwd
再补充一下，呵呵
(1)直接采用原始的带有高阶信息的RHS求其Jaccbi，构造隐式格式可能会不稳定。原因在于高阶格式包含其单元邻居甚至邻居的邻居的信息，此时很难保证对角占优，因此构造隐式格式可能会不稳定。
(2)一般而言，L矩阵对于DRHS/DQ的近似愈精确，收敛愈快，稳定性也愈好！,因为从理论上讲，如果完全精确，那么就是牛顿迭代可以达到平方收敛。另外，例如ADF由于有近似分解误差，稳定性和收敛速度就不如基于不完全分解的SIP方法。
(3)"也就是说只要能够收敛，左端项对精度不应该有什么影响"，计算非定常问题的双时间步方法就是很好的证明。

autofly
多谢楼上的详细解释，还有一点疑问，就是对于对角化处理，尤其是用到特征值的隐式离散格式中，是否需要对其构造矩阵的特征值进行修正。
具体来讲， 对HLLE， 格式，可能就是需要对矩阵进行系数的一个修正。 自己片面理解，有点像 Lu-SGS中的松弛因子的味道，但该松弛因子与特征信息有关。不知是否可以这样理解。
双时间 步长确实可以证实LHS和RHS的独立性。而且，鲜有文献对 LHS的矩阵分裂形式进行过多介绍而NASA的经典总结，几乎就是行业的标准了

另外对于LU-SGS和SSOR为什么其收敛性能如此之好，除了近似因子化 离散误差之外，还有什么别的原因？请给予指点。多谢了。

autofly
顺便提一下，在力学所李新亮老师提供的二维开源OPENCFD-ES中，对HLLC在LU-SGS中得到了应用，当然最初版本也是基于RK进行的。我尚无进行系统的研究，就是纠结于HLLC的不一致收敛而对其原始格式进行探究，其起因也源于OVERFLOW的hllc格式改进中提高了一些蛛丝马迹。
比如， 在求解Ma=16的圆柱绕流和Ma=12的高超声速球双锥（25，,55度半锥角）的算例时，采用非定常双时间步长方法获取收敛的定常解。有些不明其因。而且对于 hllc提到了其可以需要和LU-SGS。 SSOR进行结合的。

hyperlwd
除了近似因子化 离散误差之外,最重要的是要保证对角占优，这是保证收敛的一个充分条件。LU-SGS实际上就是采用谱半径分裂来保证对角强占有，总而达到快速收敛的。总之，在尽量精确的情况下，保证对角占优。举个例子，对于非结构网格，利用LU-SG，通常需要网格重排序，来减小带宽保证对角占优。在保证对角占优的情况下，Jaccobi尽量精确，例如王志坚和陈让福提出的block-LUSGS，收敛性能比LU-SGS还要好。至于HLLC我没弄过，AUSM我倒是一直用，我还对其进行了预处理，主要是当时我搞晶体生长的数值模拟，炉子里面气相区的速度很小（M～1.0e-03），后来我还对比了文献上的结果，计算过M=1.0e-6到20的问题，都没有什么问题，也是结合LU-SGS的。

lwd1981

论坛里面经常见到有人询问有关LU-SGS等著名隐式格式的帖子，这是一个很好的讨论如何构造和实现隐式格式的话题，怎么没有人积极讨论，反倒让它沉了呢？奇怪！

通流

我觉得这里搞格式的人极少。要回答这些问题，必须经过详细的稳定性分析。像大部分声称自己搞CFD的，其实也就是一些CFD软件的使用者。就是写程序的，对格式搞得很清楚的也是凤毛麟角。

onesupeng

原帖由 通流 于 2014-2-6 00:53 发表

                               
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我觉得这里搞格式的人极少。要回答这些问题，必须经过详细的稳定性分析。像大部分声称自己搞CFD的，其实也就是一些CFD软件的使用者。就是写程序的，对格式搞得很清楚的也是凤毛麟角。

虽然我写程序，其实我也不懂，哈哈

lwd1981

glandetian：
请教：关于隐式算法的迭代初值问题

问题描述：我用隐式间断有限元方法求解Euler方程，用Newton迭代法。发现如果时间步长取得稍微大点，就会出现负压力的情况，程序中断。小时间步长时可以计算。

用隐式算法就是为了增大时间步长，可是现在出现这么个情况。。。

Newton迭代对初值要求较严格，不是全局收敛的。是不是因为我的迭代初值给得不好？
我的迭代初值是给的上一个时间步的值，也用简单Euler单步法给过初值，都出现上面说的那个情况。

何解？请各位指点，感激不尽！

补充说明：为了不计算Jacobi矩阵，用了Matrix-free方法，用GMRES方法求线性方程组。

lwd1981：
说明两点：
1.目前间断有限元方法多采用RK显示方法，隐式方法尚不成熟。这从JCP近年来的文章就可以看出来；隐式方法对间断有限元方法的精度和稳定性的影响方面的研究正在逐步展开；不同的基函数对收敛性行为也是大不一样的。你的问题还可能和你使用的基函数有关；
2.对于你所采用的Matrix-free+GMRES方法是目前对于高阶方法形成的方程组的一种比较流行的迭代方法，属于牛顿类迭代方法，收敛较快。但是有几个前提：较好的初值，以及方程组的系数矩阵具有较良好的特性。对于前一点，一般通过先采用收敛速度较低但是稳定性好的隐式方法（如Jacobi迭代，LU-SGS等）迭代一定阶段在转换为GMRES等收敛较快的方法；对于第二点，一般通过对矩阵进行预处理来改善矩阵的性能，然后再采用GMRES等方法。其中预处理就可以采用Jacobi迭代，LU-SGS等。
    对于高阶方法形成的矩阵一般特性比低阶的矩阵的特性要差，这也是为什么高阶格式通常稳定性比低阶格式差的原因。对于高阶方法形成的矩阵更加需要通过预处理来改善其特性。以上不知道回答了你的疑问没？


之所以摘在这里，主要是想让一些想方便那些想了解隐式时间推进算法的朋友，同时也希望引起感兴趣的朋友积极讨论这个话题。

通流

onesupeng越来越让我刮目相看了。连这都谦虚起来了。

我当然也是属于不懂的。

[ 本帖最后由 通流 于 2014-2-6 11:15 编辑 ]

onesupeng

原帖由 通流 于 2014-2-6 03:11 发表

                               
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onesupeng越来越让我刮目相看了。连这都谦虚起来了。

难道不会很丢脸么？虽然也不是很光彩，但不会装会更不光彩，所以。。。