应该如何从物理和数值上来理解“流动的刚性问题”？

NeneLee

最近由于课题组的需要，我研究了一下预处理法（《计算流体力学教程》，张德良著）。书中提到预处理法可以用来消除“流动的刚性问题”并且提高稳态问题求解的速度，可是我始终无法理解“流动的刚性问题”反应的是一种什么物理现象？又是一种怎样的数值特性？
  在数值分析中（《数值分析》，李庆扬），使用预处理法来求解病态问题。这是否就是计算流体力学中使用“预处理法”的数值原因？

onesupeng

这个是迭代解法里面常提到的概念吧，比如用迭代法求解：

0.00000000001x=0.00000000002
x+y=2
写为
Az=B
A=({0.00000000001, 0},{1,1})，z=(x,y), B=(0.00000000002,2)
当迭代到某一步的时候
y^k=2，x^k=0时，按照一般误差的定义：

|Az^k-B|<10^{-9}

按一般收敛判断，以为收敛了，但实际上与真实解差别非常大。假定现在第一式左右乘上100000000000，把方程变为x=2，那么，这种情况就会消除。这个过程就解释了所谓“刚性”的含义和处理办法。物理上就是流动物理量发生急剧变化时，导致离散的线性代数方程系数矩阵对角线的值差别异常大。

onesupeng

另外，你遇到问题会不会google百度一下，或者看一两本大家听过的书？

NeneLee

您说的我知道，这个称之为“病态方程组”，可以通过所谓的“预处理法”或者高精度算法解决。这跟流体力学里的“流动刚性”是一回事吗？

NeneLee

另：我提出这个问题已经查阅了很多相关资料，很遗憾我没有形成正确的认识；所以我想与大家讨论一下。而且，我把我大家的认识聚集于此，以后大家有同样的问题的话，就不会花大量时间去书海里找答案了，希望对大家有所帮助，在交流中共同提高。谢！

onesupeng

好吧，你都懂了我也就没必要回复了。

lwd1981

关于你的“流动的刚性问题”，我说说我的理解和看法：
1.从你的提问来看，你主要针对的是计算流体力学中的刚性问题；
2.关于计算流体力学里面的刚性问题，通常指的是流体力学问题的控制方程组的刚性。
这类”刚性”，泛指方程组的系数矩阵是奇异的，也即最大特征值与最小特征值绝对值的量级相差较大，从而引起数值求解的困难。
对于流体力学问题的控制方程组的刚性，一般而言有几类：
（1）对流项引起的刚性
     这类问题的典型例子就是低马赫数可压缩流动问题。
（2）源项引起的刚性
     这类问题的典型例子就是部分刚性有限速率化学反应流动问题。
对于（1）和（2），可以从物理和数值两个方面来理解，对于非定常NS系统，通过特征变换变换成为波动方程，其中波速就是系数矩阵的特征值，当系统的特征值分布奇异是，也就代表着这些波动方程的"波速"差别极大，这样的系统必然是很难耦合，是刚性的。反应在低马赫数可压缩流动问题，就是最大波速为U+C，最小波速为U，而U<<C，因此低马赫数可压缩是刚性的。对于部分有限速率化学反应流动问题，这类流动的一个显著特点就是化学反应速率差别很大，有的化学反应瞬间完成达到平衡，有的则极其缓慢，这样的系统也是刚性的，此时系统的特征值对应，也即”波速“，反应的是不同化学反应的速率。
（3）高阶格式引起的刚性
     这类问题主要是一般高阶格式由于引入的节点模板较多，从而较难保证对角绝对占优，从而引起系统奇异。
3. ”刚性”问题通常采用“预处理”技术。所谓“预处理”技术，实际上就是通过某种手段去修改矩阵的特性，到达满足其特征值分布较为均匀的目的。例如对于低马赫数可压缩流动问题，就是通过引入“虚拟声速”来达到减小“声速”的目的，使得O（u）～O（C），从而减小刚性。刚性化学反应流也是如此，通过引入“虚拟化学反应速率”来达到减小刚性的目的。
   这三类刚性问题我都处理过，有一点点体会和你分享一下。理解不一定正确，欢迎大家斧正。

flowinflow

lwd1981 说得真好，我稍微补充一点点。

0）未预处理问题的线性方程为 A * u = b
刚性大意味着A 的condition number 很大 （condition number = lambda_max/lambda_min）,
预处理意味着寻找一个预处理矩阵 P, 系统矩阵就变成 P*A, with a better, i.e., smaller,  condition number.
并且，新的问题 P * A * u = P * b
和原来问题解是一样的。

1）当然，难度在于如何寻找一个合适（计算简单，效果好）的预处理矩阵。最极端的情况，当然就是 P=inv(A)

2)  这件事情主要是应用在需要迭代求解过程的问题。

原帖由 lwd1981 于 2013-1-13 03:06 发表

                               
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关于你的“流动的刚性问题”，我说说我的理解和看法：
1.从你的提问来看，你主要针对的是计算流体力学中的刚性问题；
2.关于计算流体力学里面的刚性问题，通常指的是流体力学问题的控制方程组的刚性。
这类”刚性 ...

周华

7楼总结的很全面。我读博士的时候做过有限速率化学反应问题，这里面的刚性主要就是因为各个反应的特征时间尺度不同，并且有数量级上的差异导致的。由于有量级上的差异，使得计算的时间步长很难取。按照稳定性理论应该取为步长最短的一个，但取为这个超短的时间步长后，时间尺度很大的那个反应几乎永远都收敛不了。这种情况下采用所谓“预处理”就是把各个反应的时间尺度都统一到一个伪时间尺度上，然后各个反应就可以在差不多的计算步数以内得到收敛了。

coolboy

[8楼]主要是从数学的角度考虑。我来补充些物理上的一些处理方法。

（1）lambda_max和lambda_min常常对应流体系统中不同类的快、慢波，如声波、重力波、旋转波等。若有些波动（模态）对流动演变的作用不大，则可对原始方程（组）作某些近似，其结果就相当于数值上消去了lambda_max，从而减小了condition number。这种处理方法在流体力学数值求解中常称为“滤波”。

（2）关于化学反应的问题，[7楼]提到：“化学反应速率差别很大，有的化学反应瞬间完成达到平衡，有的则极其缓慢，这样的系统也是刚性的。”一个常用的处理方法就是所谓的“family species"近似，就是把那些“化学反应瞬间完成达到平衡”的一些元素合到一起，组成“族”元素。“族”元素内部的各元素始终假定处于平衡态（d/dt=0）并形成一定的“partition"。这时，原来对比如30个元素的问题就简化为比如3个元素加上4个“族”元素（总共7个元素）的缓慢演变问题，大大地减小了原问题的病态特性。

另外，一般情况下，若不计算Jacobi矩阵，不可能（或很难）设计出求解刚性问题的好算法。但对于化学反应问题，每增加一个化学反应式，其具体Jacobi矩阵中某元素的变化也可同时给出，即化学反应问题的Jacobi矩阵可解析给出。运用解析的Jacobi矩阵可设计出非常有效的算法来求解刚性问题。

[ 本帖最后由 coolboy 于 2013-1-15 12:27 编辑 ]