求助：分子平均自由程

白文

那位老兄老姐能帮忙算一下11920米高度的分子平均自由程？

通流

我估算了一下，在11920米处，分子平均自由程是 264 纳米。

在11920米处，我查了标准大气性质表：P=19637Pa， T=216.65K
假定11920米处的空气与海平面处的空气组分基本一致，套用分子运动论里的公式
分子平均自由程~ T/P， 在海平面，分子平均自由程=68纳米。

通流

刚才有查了下，大气性质表，在 11920米处，分子平均自由程是 257纳米。所以，前面的估算还是足够准的。

周华

我用http://www.cfluid.com/calonline/atmosphere.htm上面的公式算了一下，11920米高空的空气动力粘度mu为0.00001421Pa.s，密度rou为0.31477kg/m^3，音速c为295.0728m/s，套用分子气体动力学公式mu=0.5*rou*c*lamda，得到的平均自由程lamda等于300纳米。

白文

我拿这个数据有用。想看一下网格加密到啥尺度就不能再加了，因为Navier-Stokes方程是在连续介质条件下获得的。相关进一步分析材料随后在高可信CFD论坛贴出。

白文

6.6×10^-8米
备注：即为66纳米。纳米又称毫微米，就是10^-9米，就是十亿分之一米。
出处：Aerodynamics for Engineers, by John J. Bertin, Third Edition, Page 3, 1998.

白文

A parameter that is commonly used to identify the onset of low density effects is the Knudsen number, which is the ratio of the mean free path to a charactristic dimension of the body. Although there is no definitive criterion, the continuum flow model starts to break down when the Knudsen number is roughly of the order of 0.1.
in Aerodynamics for Engineers, by John J. Bertin, Third Edition, Page 3, 1998.

对于A320这样的所谓大飞机，其经济巡航高度为11920米，参考长度取平均气动弦长大约在4.4米左右，按照257～300纳米这么一个量级的分子平均自由程估算，求解NS流动方程的计算网格（如果按照飞机的真实尺寸生成）其最小尺度不得小于2.57～3.00微米（备注：1微米=10^-6米）。
这大概应该是采用NS方程求解A320之类飞机外流场时进行网格收敛分析的极限吧。

[ 本帖最后由 白文 于 2009-12-15 10:53 编辑 ]

通流

从大气性质表，在海平面的平均自由程是66纳米。我用的68纳米是从wikipedia里来的。因为差不多，也没改。Knudsen数0.1作为区分是否可用连续介质假设的说法，应该是钱学森最早提的吧。

我有点不明白，你说的网格极限。假如我有个很小的探头，探头的尺寸只有一个平均自由程。测出的量当然是有点离散的。但如果我做时间平均呢？换句话说，这里除了有空间尺度，还得有时间尺度的要求。

另外，在接受N-S方程的前提下，意味着，我们已经接受连续介质的假定。这时，点上的流场参数，就是一个小的流体微团上的平均值。在这个基础上，把网格画的小于连续介质的极限，仍然有物理意义。数学上也没有问题。因为，不管多小的网格，连续介质的假定是隐含的。

我倒是担心那些尖角之类的东西。假如是个几何上的尖角，可能会发现尖角附近的流场需要极密的网格才能使得解稳定下来。而实际上，那些尖角并不尖。

zinsser

同意楼上的说法。
在求解NS方程时，已经默认方程是成立的。后面的数值离散工作仅仅是用来解决数学问题，和物理毫不相干，因此不能用此来解释网格收敛极限。

周华

Knudsen数大于0.1后连续介质假设就不成立了，因此把这个尺度当作网格划分的一个下界应该是可以的，划的比这个再细确实没有什么意思了。一般连续流计算在壁面附近主要需要考查粘性底层的厚度，这是使用壁面函数时所必须满足的一个条件，但是也会遇到在一些问题中，虽然网格尺寸比粘性底层的厚度要粗，但是结果却显示已经“网格无关”了。另外除了网格粗细会对计算结果有影响外，网格的畸变率也是一个重要因素，比如在一个圆与一条直线相切的地方，网格畸变率往往很大，而这个畸变率又无法通过细化网格被降低下来，数值误差往往在这种地方变得很大，甚至导致发散，所以我觉得网格规模可以作为一个粗略的判据，但还不能作为一个唯一的标准判据，网格的类型、分区和畸变率等参数应该综合考虑，否则很难把由网格引起的数值误差控制住。

白文

原帖由 周华 于 2009-12-15 18:13 发表

                               
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Knudsen数大于0.1后连续介质假设就不成立了，因此把这个尺度当作网格划分的一个下界应该是可以的，划的比这个再细确实没有什么意思了。一般连续流计算在壁面附近主要需要考查粘性底层的厚度，这是使用壁面函数时所必 ...

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通流

不觉得，在N-S方程下，讲Knudsen数的逻辑有问题吗？
把一个不连续的，随机的分子运动场，做平均后，就变成了连续的场了。这个在数学上不难理解吧。连续介质不是说，流场是有一个一个的Knudsen数等于0.1的格子组成的。这时候，怎么解NS方程都已经于原先的分子运动没什么关系了。

如果想深究的话，也许我们更要关心在边界上怎么办。当达到微米，纳米级时，固壁就不是光滑的了。如果还是用光滑的固壁，这等于是包含了一层假设。

而当我们使用紊流模型时，我们又包含了更多的假设。紊流的某些尺度并不小，但我们还是做平均后，当成连续的处理了。

我的观点是，方程（包括紊流模型）是对流动的一个近似，而网格及格式则是对方程的一个近似。越级使用，是不合适的。而从方程的观点看，确定最小网格的，只能是Re。

lupp

终于认同“通流”的一个看法了，哈哈

通流

难道对我的别的观点，你有不同的看法？太好了，拿出来，我们讨论讨论啊。对于初学者来说，看看这些讨论是很有益的。

白文

通流兄说：“而从方程的观点看，确定最小网格的，只能是Re。”
事实上，我昨天早上已经写了一个word文件，要同时讨论这个Re数和最小网格尺寸的关系。因为其中有一些数学公式，难以在文本帖子中直接表达，未能及时发出。另外一个迟发的原因是要等这个11920米高度分子平均自由程的数据。还有一个自私一点的想法是要发到高可信CFD论坛（此处欠尴尬表情一个）。其中的第一段话仍然是感谢通流兄和周华兄，通过论坛的有益和互动讨论，促使我revisit那些基础的流体力学和物理学知识。
如果我们认同Kolmogorov在1941年给出的那个关于湍流最小尺度eta的定义的话：eta约等于Re^(-3/4)*L。仍以A320说事，Re约等于22×10^6，L约等于4.4米，则eta约等于1.37×10^-5。
如果我们又认为，需要用10个左右网格就可以捕捉这个最小湍流尺度的话，得到的最小网格尺度也基本上在10^-6这个量级。当然你可以认为需要100个点或更多，那就是另外一回事了，那这个最小湍流尺度就不是最小了，这需要回过头去质问Kolmogorov（不知还能找到不？一笑！）。Knudsen数0.1也只是一个大约的说法。而我本人认为，从分子平均自由程的观点分析更合理一些，尽管与从Kolmogorov尺度和Re数分析基本上是相互印证的。
考虑到真实流动是三维的，例如计算区域取50倍L也就是说220米的话，这个网格数目其实是非常巨大的。如果你再考虑Kolmogorov时间尺度，那就更不摆了。
明天一早要出差到西安，半夜睡醒了爬起来说两句，不吐不快（都是昨晚那二两酒惹的祸？怪就怪气动院那个老大哥！），失陪几天了。

[ 本帖最后由 白文 于 2009-12-16 05:02 编辑 ]