请教大家几个问题

maok

初学CFD，有些自己不理解的地方，向大家请教一下。一阶波动方程 我只有一个特征值，一条特征线，按理说应该是抛物的，用克莱默法则判断出来也是抛物的。为什么所有书上这个方程是双曲的。还有讨论差分方程的稳定性时，说 差分方程的精确解满足差分方程，这点毫无疑问。但是书上又说数值解，也就是计算机求出的带有舍入误差的解也满足差分方程，这点我就不明白了，既然是带有舍入误差，那为什么还满足差分方程了？

pssky

学习！！！！！！！！！

maok

楼上打这么多叹号干嘛

通流

那个法则应该是用于二阶方程的。

不知你读的是什么书。估计得换一本。还是那句话。这东西得从物理着手。但从方程的角度，你是搞不清楚的。

lixl-imech

1） 关于方程的类型
方程的类型（双曲、抛物、椭圆）的概念最早是针对二阶拟线性偏微方程提出来的。方程为： a*uxx+b*uxy+c*uyy+d=0,  其中d为二阶以下的导数项。
根据b*b-4a*c的大小可以判断方程是椭圆、抛物及双曲。 其概念应当受二次曲线（圆锥曲线）理论的启发提出的。 二阶拟线性方程可以转化成两个一阶偏微方程组，根据其系数矩阵能否通过相似变换对角化的原则，可以化为椭圆、抛物、双曲类型。
   更高阶的偏微方程以及更高维的偏微方程组情况比较复杂。除了椭圆、抛物、双曲型，还有各种混合类型。椭圆、抛物、双曲型只是高阶方程（或高维一阶方程组）的特殊情况。 至于单个一阶偏微分方程，应当不属于这个理论范畴。
    用一个比喻： 双曲、抛物和椭圆型曲线是针对二次曲线的理论，并不适用于一次及高次曲线。 同样双曲、抛物及椭圆方程原本是针对二阶偏微方程（或两个方程的一次方程组）的理论。 推广到高次方程（或多个方程的一阶方程组）并不完全适用。 高阶方程（或多个方程的一阶方程组）只有在特殊情况下，才可能是双曲、抛物或椭圆的，一般的情况下是混合型的。
  可参考置顶的那个帖子里面的讲义 （第1讲-基本方程.ppt）. 里面有比较详细的介绍。
   2）关于差分方程
      所谓差分方程，就是把原先微分方程离散化以后形成的代数方程。 这个代数方程当然也需要求解，求解总会带来误差。 如果是隐式算法，就需要求解代数方程组，如果用迭代方法，就会有收敛误差。如果用直接法，则无法避免舍入误差。 即使使用显格式，仍无法避免舍入误差。因为计算机计算最简单的加减乘除时都会有舍入误差（整数计算及特殊情况除外）。  
    所谓数值解严格满足差分方程，并不是指没有舍入误差，而是指没有截断误差。因为与计算机的舍入误差（通常1.E-15的量级)相比，截断误差（例如，差分离散是把Taylor展开式截断高阶项）要大得多。 因此从这个角度来说，可以认为差分方程的解严格满足差分方程，因为差分方程是代数方程，代数方程要好解的多，其误差很小。

[ 本帖最后由 lixl-imech 于 2010-5-21 00:11 编辑 ]

通流

说的很清楚。早期的CFD，舍入误差相对很小。而现在网格越来越密，很难保证舍入误差还可以忽略不计。这个问题，在与白文先生的讨论中已有提及。只是没见到比较正式的研究报告。

gjqzgu

好详细啊，虽然云里雾里，不过认真看几遍希望能弄懂，学习了！

maok

谢谢李老师，您的意思是因为差分方程的精确解与数值解之间的舍入误差比较小，所以才认为二者均满足差分方程？

lixl-imech

嗯，计算机通常只能计算数值解 （计算机公式推导除外）。 因为差分方程是代数方程，容易求解，误差较小（考虑到舍入误差的积累，双精度计算的误差通常为1.E-12~1.E-14)。因此，可以认为差分方程的解 “精确”满足差分方程。  当然，这个“精确”是与微分方程的数值解比较而言的。
与代数方程相比，微分方程的数值解要困难得多，其误差通常也较大。对于复杂问题（如湍流等），N-S方程数值解的误差可以达到百分之几，甚至更大。当然,由于复杂问题（如湍流）的精确解通常无法获得，数值解的“误差”都很难定义，只能和更精密的数值解相比了。

[ 本帖最后由 lixl-imech 于 2010-5-21 12:02 编辑 ]

maok

谢谢您了。我在仔细体会体会

ahunter

我记得在那本书上看到 数值解 和 误差 分别都满足差分方程

我翻翻书吧

ahunter

Anderson 计算流体力学基础及其应用 中译本
P106

差分方程的精确解 误差 都满足差分方程

maok

但是他没讲原因啊