扩散方程的C-N格式计算问题

onesupeng

图片需要编辑才能添加，是一个很不好的事情。这里我再给出取到n=20的结果

onesupeng

现在回到数值格式的问题。传统意义上的耗散格式起到反作用，因为扩散系数正为耗散，负就为增长。

由于增长、振荡来源于物理，所以所有所谓的人工粘性将无效。因为人工耗散的原则是不能显著改变物理机制，即来源于物理的振荡你无法改变，所以在我所认识的范围内，不可能有效。

最后，所有的数值计算，都会引入高频扰动，这个扰动也必将很快放大。而据上述分析推测，网格越密，越容易发散。同样一个结论，初始条件月不光滑，越容易发散。

坐等高人得出不同的结论~

onesupeng

拼音打字错别字太多，抱歉

不影响阅读不回去修改了

onesupeng

30楼价定扩散系数为-1

lwd1981

原帖由 onesupeng 于 2014-2-25 00:57 发表

                               
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现在回到数值格式的问题。传统意义上的耗散格式起到反作用，因为扩散系数正为耗散，负就为增长。

由于增长、振荡来源于物理，所以所有所谓的人工粘性将无效。因为人工耗散的原则是不能显著改变物理机制，即来源于 ...

       1. 分析的很好，值得学习。但是这似乎和我“你可以将你的数值离散格式对应的修正方程导出来，你会发现你的数值耗散项也是负的；如果你的数值耗散是正的，那么出现间断附近（数值突变的地方）的振荡将被光滑掉（这其实就是“人工粘性”的机制），从而使得你的“矩形波”会变光滑；但是你的数值耗散项是负的，它不会将会将间断附近（数值突变的地方）所出现的振荡光滑，反而会将间断附近（数值突变的地方）所出现的振荡放大。”不矛盾吧。
       2. 我们要区分数值振荡和物理振荡。打个比方，你的解本身就是一个振荡形式的解，例如著名的Shu-Osher 问题,这个振荡是物理的，而在强激波附近出现的由于色散效应引起的振荡，则是数值振荡，是非物理的。CFD格式构造的数值粘性本身就是用来处理后者的，如果要可以去消除原本就应该存在的物理振荡，那显然不是CFD要干的事，也是没有意义。

coolboy

所谓“反扩散”是否可理解为时间轴上相反的方向扩散？
若作坐标变换，t=-t’，则在（t,x）坐标系下的“反扩散”过程就成了（t’,x）坐标系下的“扩散”过程。上面[30楼]的图似乎正证实了这一点，即t+dt时刻的较陡的分布在t时刻变得缓一些了。

[ 本帖最后由 coolboy 于 2014-2-25 09:30 编辑 ]

onesupeng

原帖由 coolboy 于 2014-2-25 01:26 发表

                               
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所谓“反扩散”是否可理解为时间轴上相反的方向扩散？
若作坐标变换，t=-t’，则在（t,x）坐标系下的“反扩散”过程就成了（t’,x）坐标系下的“扩散”过程。上面[30楼]的图似乎正证实了这一点，即t+dt时刻的较陡的 ...

你提了一个很好的建议。但是一个问题就是提出t=Tmax的分布值，如果这个分布能够合理给出，你的方法应该没有问题。

coolboy

能否从我的建议推出“反扩散”与“扩散”过程对是否会产生振荡型解这一点上没有本质区别？

uesoft

越来越热烈了，基本还是态度理性的，很好。我不懂你们的东西，但看到物理振荡、数学振荡这样的词汇，不免想凑热闹：真的有这2种振荡吗？也许他们的本质是相同的，比如所谓物理大概是指符号函数即用符号来表达的方程和解，所谓数学大概是指数值分析来表达的方程和解，他们有什么不同呢？除了符号方程可以用包括0和1及其他的多个符号表达，数值分析只能用0和1来表达，没什么不同，顶多是精度不同，就人类感官而言，数值分析的0和1符号精度要高得多。他们的差异所造成的振荡，没有本质不同。

onesupeng

原帖由 coolboy 于 2014-2-25 01:41 发表

                               
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能否从我的建议推出“反扩散”与“扩散”过程对是否会产生振荡型解这一点上没有本质区别？

我觉得不能

一个问题是，物理空间(0,T)，变化后 (0,-T)，其实就是时间的反对称变换，即和你在镜子里的象一样，远离镜子，像也远离。过程任然是一个反对称过程。如果你要（-T，0）这样，就涉及到我前面提到的，要能合理给出终态，才能反推初态的问题

哈哈

onesupeng

能不能先解一个正系数的扩散方程给出终态，然后再解一个负扩散系数扩散方程，返回正扩散的初态，哈哈

onesupeng

当然这个讨论对于楼主及其某些用心的初学者的帮助应该是很大的，主要在于动手、动脑，有一个想法，然后尽力动手去实践，无论成败，必定有所收获。经过一番讨论验证等，我本人也增加一定的知识，对某些事物的认识更深一点。

lwd1981

简单分析了一下Crank-Nicolson method在此时的稳定性

[ 本帖最后由 lwd1981 于 2014-2-25 05:03 编辑 ]

uesoft

是否有可能在美国注册一个开源软件公司，做开源数学软件或开源cfd软件。
这样做有什么优点缺点。

onesupeng

楼上出资，我来注册