如何求解随机微分方程？

coolboy

流动可以是以湍流的形态出现，描述湍流以及相关的一些现象通常会用随机变量或及随机函数。当一个微分方程以及它的初边条件出现随机变量时，我们就称之为随机微分方程。以前曾遇到过求解随机微分方程的具体特例。现在突然意识到那些特例应该就是求解任何随机微分方程的一般性方法的特殊处理而已。所以，也就突然冒出了现在的问题：一般情况下，如何求解随机微分方程？

大家先想想看，一般的求解步骤恰恰是应该比那些特殊的处理方法思路上要简单！

coolboy

首先再解释一下，只有微分方程中的系数或方程的初边条件中出现随机变量时，我们才称之为随机微分方程。当然，这时方程的解也是随机变量。例如，研究湍流运动的世界名著中（Monin and Yaglom，1971，1975），作者运用了大量的概率统计学来研究解的随机、统计特性，但对纳维－斯托克斯方程本身，包括其（系宗或即集合）平均方程或扰动方程，则都是作为确定性方程进行求解的。在Monin and Yaglom的专著中，作者也求解了随机微风方程，但那不是纳维－斯托克斯方程。再例如，近20年前我在本论坛的下一个帖子中作出过如下的评论：
+++++++++++++
[讨论]量子力学和流体力学有多大联系？ [15楼] (2008-1-5)
[url]https://cfluid.com/forum.php?mod=viewthread&tid=45337[/url]
下一本书的最后一章(Chapter 10)讨论到了这个问题：Monin, A. S., and A. M. Yaglom, 1975: Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of Turbulence. Vol. 2. MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 874 pp.
若知道了某一随机过程的分布函数，则也就知道了该随机过程的所有特性。此外，若知道了某一随机过程的特征函数，则也就知道了它的分布函数(这是因为特征函数是分布密度函数的傅立叶变换)。在一定条件下，这描述湍流随机过程的特征函数的方程刚好与量子力学中的薛定谔方程(表示)相类似。
+++++++++++++
求解纳维－斯托克斯方程解的特征函数的方程确实是把原方程及其解看作是随机过程，但那特征函数及其方程却还是确定性函数和方程。

现在我们回到正题：一般情况下，如何求解随机微分方程？



References:
Monin, A. S., and A. M. Yaglom, 1971: Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of Turbulence. Vol. 1. MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 769 pp.
Monin, A. S., and A. M. Yaglom, 1975: Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of Turbulence. Vol. 2. MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 874 pp.


（待续）

coolboy

既然是微分方程，那就必然包含微分项。一说到“微分”，自然也会涉及到函数的连续性、可微性等一大串问题。随机变量由于其不确定性是无法在传统意义上定义“微分”的。所以这里所说的随机微分方程其实是从原始的确定性方程演化而来的。一个描述某物理过程的确定性方程由于方程中的系数和方程的初边条件变成了不确定的随机变量或随机函数，此时，方程的解也必然是随机函数。该如何求解此类方程？

根据如上所述的随机微分方程的含意或定义，原则上我们就可以直接从定义出发求解随机微分方程。例如，若某随机微分方程的初始条件是一个随机变量或即满足一定随机分布函授的空间场，则我们便可以此而产生出N个确定空间函数的实际样本。对每一个样本所代表的初始条件分别求解微分方程，结果我们便得到了微分方程的N个解。这N个解实际上就对应着原随机微分方程的随机函数解的N个样本。我们不一定可以推断出随机函数解的分布函数，但原则上我们可以根据这N个样本求出它的平均、方差以及各高阶距。从这个意义上来讲，我们确实已经完整地求解了给定随机初始场的随机微分方程。

用此方法直接求解随机微分方程的一个应用实例就是一类数值天气预报模式，称之为集合预报模式（Ensemble Prediction System）。我们把实际大气看作流体，则描述天气实际变化的微分方程刚好就是著名的纳维－斯托克斯方程。我们把观测到的今日的天气状态作为方程的初始条件来求解纳维－斯托克斯方程，则我们就可以预报明、后天或下周的天气。由于种种原因，我们实际观测到的天气状态其实是带有很大的不确定性的。换句话说，我们观测到的作为初始条件的输入变量是一个随机变量。从而，我们实际上是在求解一个随机微分方程，所得的解也是带有一定不确定性的随机变量。集合预报模式就是通过求解多个初始条件或物理参数略有差异的预报模型（即求解纳维－斯托克斯方程），生成多组预报结果，以此分析未来天气变化的概率分布。

直接从定义出发求解方程的思路常常是比较耗时但确也总能在一般情况下获得解的“笨办法”。对某些特殊但又非常重要的方程，一些巧妙的方法则可以大大地简化求解过程。对于随机微分方程的求解尤其是如此。下面介绍一种特殊的令人叫绝的巧妙方法用于求解一类重要的随机微分方程。

（待续）

coolboy

上面所述的针对随机变量的每个每个样本重复求解微分方程的方法显然是非常耗时的。现在来说说一类可以有效地、一次性求解的随机微分方程。这类特殊的随机微分方程至少具有如下的基本特点：出现在方程左端的含有因变量的微分算子只包含确定性函授，而所有的随机变量只包含自变量并作为外源项出现在方程的右端。在这种情形下，由于微分算子是确定性算子，我们只要求解一次就能获得原方程的积分解。也就是说，我们可以把原随机微分方程的解表达成关于右端（随机）源函数的积分。上门提到随机函数的微分由于函数的不确定而无定义。但随机函数的积分是有定义的。例如，随机函数的期望值就是求它的积分而得。

这里，我们举例说明下面三种情形的实际应用：
（1）左端的微分算子是一简单表达式，从而原随机微分方程的解也就是右端随机源函数的简单积分；
（2）左端的微分算子是一个线性算子，从而原随机微分方程的解就是对应于该线性算子的格林函数与右端随机源函数的卷积；
（3）左端的微分算子是一个非线性算子，但原随机微分方程的解可通过扰动法进行线性化、叠代以求得近似解。

（待续）