点集A=B≌B凸显中学几百年重大错误：搞错变数的变域 ——几何起码常..

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点集A=B≌B凸显中学几百年重大错误：搞错变数的变域
             ——几何起码常识让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来
          黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
  [摘要]2300年初等几何一直认定:凡直线必合同;据此有：等长的直线段必合同。然而保距变换概念和集合起码常识推翻此2300多年“几何起码常识”凸显有用而不知的等长却不合同的直线段。
  [关键词]推翻2300年公理：凡直线必合同；貌似重合的伪二重直线（段）(只有重叠关系而无重合关系)；保距变换；变数的变域

    人类认识直线（段）已有2300多年。“科学”共识：数学，尤其是关于最简单、基本的图形：直线段方面的中学知识绝不可能有重大错误。本文发现有直线段等长却无合同关系，人类由认识直线段到发现这类用而不知的“更无理”直线段竟须历时2300多年！但若担心广大高中生（应熟悉非常简单易懂的保距变换概念）看此科普文后还不能认识这类直线段那就是污蔑其是弱智群体了，因“反科学”的神话般发现来自于太浅显的：①几何起码常识c：相等的图形必合同即点集A=B≌B。②集合起码常识d：所谓数集A=B是说A的元与B的元可一一对应相等即有x↔y=x(表A各元x均有与之对应相等的数y∈B且B各元y均有与之对应相等的数x∈A)。
与x相异或相等的数均可表为y=x+△x（△x可=0也可≠0）。设本文所说变数都可形象化为沿一维空间“管道”G运动的动点（可固定一下），n个变数可形象化为同在G内的n个动点。G内x轴各点变换为还在G内的点x+△x=y形成元为点y的点集还在G内。
质点x移动到新位置成点x′还是移动前的点即移动前后的点只有位置差别而无别的差别。图形A各点保距偏离原位生成的B≌A。A≌B≠A是说A与B只有错位的差别而无别的差别。只有两个点的点集｛点a，点b｝，设想a、b是闭直线段D的两端点，这两点绕D中任一点旋转是保距运动。至少有两元的点（数）集A保距变为点（数）集B就称A≌B——表示A与B可通过保距变换而重合。将直线段A的一端点涂成红点，保距运动将A的红点（或中点）变为新线段B≌A的红端点（或中点），...；将相片（像素点的集合）中人的左眼变为新相片中人的左眼。
设A=｛x｝表A各元均由x代表，变数x的变域是A；至少有两元的A任两异元x与x+△x之间的距离是变量|△x|>0。因相等的图形（点集）必合同故有
h定理1：至少有两元的点（数）集A=｛x｝=B=｛y｝的必要条件是A≌B，这等价于|△x|=|△y|即△y=±△x，以及y=y（x）=±x+c——表明y=±x+c以外的一切y=y（x）的定义域必≠值域。
证：⑴A=B≌B时A与B的元x与y必可有一一对应关系：x↔y=y（x），此关系下y+△y中的△y=y（x+△x）-y（x），A=B≌B说明A各元x变为y（x）组成B=｛y（x）｝=A不一定是恒等变换但一定是保距变换；由A≌B的定义，|△x|=|（x+△x）-x|=|y（x+△x）-y（x）|=|△y|；⑵当且仅当y=y（x）=±x+c时才有△y=y（x+△x）-y（x）=±（x+△x）+c-（±x+c）=±△x。证毕。
本文表明本文作者以往论文中的相应结论是正确的，但论据中的“A=｛x｝=B=｛y｝的必要条件是y=±x+0”应改为：A=B的必要条件是y=±x+常数c；相应“|y|=|x|”应改为：A任两异元间的距离|△x|=B任两异元间的距离|△y|>0。
h定理2：若点集A（至少有两元）各元点p保距变为点p′（p）生成元为点p′的B≌A则A各点p到A任一点p0的距离ρ=ρ′=B各元点p′（p）到点p′0（p0）∈B的距离，即ρ′与ρ是同一距离函数。
证1：坐在汽车里各人x与司机（或车内任一位置）的距离ρ（x）分别是ρ（x1）=a，ρ（x2）=b，ρ（x3）=c，...，所有ρ组成M=｛a，b，c，...｝，ρ（x）是变域为M的距离函数；因各人x相对于车是不动而没相对位移的，故ρ（x）不可随车的匀速直线运动而变为别的变量；若急刹车ρ就可变为ρ′≠ρ。同样A变为B≌A只是A作改变空间位置的刚体运动，各元点相对于图形是没相对位移的，这就使ρ与ρ′必是同一距离变量。证2：设A=｛x｝≌B =｛y（x）｝，A各元点x到A任一点x0的距离ρ=|x-x0|，B各元点y（x）到点y0（x0）∈B的距离ρ′=|y（x）-y0（x0）|，由A≌B的定义ρ′=ρ；同样，A与B可是n≥2维空间图形，……。证毕。
自有函数概念几百年来数学一直认定：定义域为[1，2]⊂R 的y=3x-3的值域=[0，3]⊂R，理由：由1≤x≤2得3≤3x≤6，0≤3x-3≤3；……。其实这是违反几何常识c和集合常识d的肉眼直观错觉。
一维空间管道G内R轴各元点x变为还在G内的点x+△x=y=3x-3（从而有x↔y=3x-3）生成元为点y的y=3x-3轴（叠压在R轴上），可将此y轴记为R′轴，因y=3x-3是y=±x+常数c 以外的函数故据h定理1y=3x-3的值域R′轴≠y的定义域R轴；R任两异元间的距离是|△x|>0，R′任两异元y（x）=3x-3（△y=3△x）与y+△y间的距离是|△y|=|y（x+△x）-y（x）|=3|△x|>|△x|，故R轴变为R′轴是增距变换使R轴不≌R′轴——推翻举世公认2300年的公理：凡直线必合同。R轴有子部射线R+即射线x≥0，R′轴有子部射线y=3x-3≥0。保距变换将射线的起点变为新射线的起点。射线x≥0各点x≥0到该线的起点x=0的距离是x≥0（x≥0的变域是R+)而射线y=3x-3≥0各点y≥0到该线起点y=0的距离是y=3x-3=3（x-1）≥0（x≥1)，据h定理2射线x≥0不≌射线y=3x-3≥0从而更≠射线y≥0——由此知R轴≠R′轴。
所以x轴可伸缩平移成X=kx+b轴(叠压在x轴上)≠x轴，其中常数k>0是伸缩因子，b≠0是平移因子；显然在x↔X=kx+b中当且仅当k=1、b=0时才可有x↔X=kx+b=x。所以中学几百年解析几何的“X轴与x轴重合”是违反集合常识d和几何常识c的肉眼直观错觉，是搞错X=kx+b的值域的错误。将各异直线误为同一线自然就会将各异直线段误为同一线段。
管道G内线段D=[1，2]⊂R轴各元点x变为还在G内的点x+△x=y=3x-3生成元为点y的B（～D）=[0，3]⊂R′轴，包含D的线段A=[0，3]⊂R轴各点x到A的中心x=1.5的距离ρ=|x-1.5|而B=[0，3]⊂R′轴各点y=3x-3（△y=3△x）到B的中心y=1.5的距离ρ′=|y-1.5|=|3x-3-1.5|=|（x-1.5）+2x-3|≠ρ。据h定理2线段B（元为点y）不≌A（元为点x）从而更≠A；因|△y|=3|△x|≠|△x|故据h定理1B≠A——说明B与 A是伪二重直线段及伪合同直线段。中学解析几何一直将用而不知的直线段B～D误为A D，同样……。详论见[1]-[3]。
点集A：.....各点x沿x轴正（负）向保距前（后）移变成点x+常数c≠x形成点集B就不可还=A了，因B各点x+c都在点x的前（后）面从而使各x+c与各x不可一一对应重合相等,各x只可与各x+c≠x中的x一一对应相等而不可与各x+c本身一一对应相等。
h定理3：数集A各元x保距变为y=x+常数c≠x形成B=｛y=x+c｝必≠A，因在保距变换x↔y=x+c中当且仅当c=0时才可有x↔y=x+c=x。
据h定理3X=kx（正常数k可=1）轴沿该轴保距前（后）移距离|c|≠0变成X′=kx+c轴（≌X轴）≠X=kx轴，即定义域为X轴的X′（kx）=kx+c的值域≠X轴。X=kx轴的子部射线X≥0各点X≥0到该线起点X=0的距离是X≥0，而X′=kx+c=X+c轴的子部射线X′=X+c≥0各点X′≥0到该线起点X′=0的距离是X′=X+c≥0，据h定理2射线X≥0不≌射线X′≥0从而更≠射线X′≥0——由此知X轴≠X′轴。
可见保距变换概念和集合起码常识让亿万中学生也能一下子认识2300多年都无人能识的无穷多各种各类的伪合同、伪重合图形；不识这类比虚数更“虚”的图形使康脱误入百年歧途推出康健离脱的病态理论。破除迷信、解放思想、实事求是才能创造神话般世界奇迹使数学发生革命飞跃：一下子跃进到认识“更无理”图形的时代。备注：已对本文采取法律公证等法律保护措施。
              参考文献
[1]黄小宁。两集相等概念推翻百年集论和几百年函数“常识”——课本重大错误：定义域=[0，1]的y=2x的值域=[0，2][J]，数学学习与研究，2015（3）:117。
[2]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J]，数学学习与研究，2016（5）:151。
[3]黄小宁。几何、集合起码常识暴露中学数学一系列重大错误——几何起码常识让5千年都无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，科技视界，2016（3）：92。
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