数学课本有赤裸裸错误 ——变数间的函数关系与该关系中的函数是两根本不同概念

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数学课本有赤裸裸错误
——变数间的函数关系与该关系中的函数是两根本不同概念
黄小宁（通讯：广州华南师大南区9-303 ，邮编510631）


凡懂集论的“一一对应”概念者都懂“对应”的含义。当所说集合是数集时所谓“x的函数y”就是自变数x的对应变数y，亦称y是因变数；函数y与x的对应关系称为：y与x的函数关系；即：函数=对应变数=因变数，函数关系=对应关系。然而中外许多课本竟大同小异地有将函数和函数（对应）关系混为一谈的说法：“函数是自变量与因变量之间的对应关系[1]”即说：函数是自变量与函数（=因变量）之间的函数（对应）关系。这把学而思的学生给搞糊涂了，因有数学家说: 搞错概念,脑子会变成一团浆糊。应改为“函数（对应）关系是自变量x与因变量（x的函数）y=f(x)之间的互为对应关系：x←→y=f(x)”才是正确的。变数x与对应变数-x有互为相反数的对应（函数）关系，但x的函数-x不是此函数关系本身而是该关系中x的对应变数。作者多年前就在网上发文指出：函数关系中的函数不是关系本身而是构成此关系的变数中的对应变数，“函数=函数关系”是非常低级错误。一种关系和构成此关系的成员是两根本不同概念。所以“在全世界流行多年的教科书绝不会有概念性错误”是一种偏见。
不少书本有说法b“函数是从自变量的输入值产生出输出值的一种法则或过程。”（申大维等译《数学的原理与实践》，高教出版社、德国施普林格出版社，1998）。其实函数y=f(x)是按变化（对应）法则 f而随x的变化而变的变数。“D各元x都须与10x对应”这一对应法则不是函数（=对应变数），法则中的对应变数10x才是函数。函数y(x)是变数而必有变域和可取正、负数，而对应法则不是变数当然也就没变域更不可取什么数。显然x与y都是相应有运动方向的动点的坐标，而规定它们之间有怎样的对应关系的对应法则不是动点的坐标，更谈不上有正负号的问题。各函数与0都可比较大小而有>0及<0的函数，变数之间可有大小关系和可进行±×÷等运算例x>0的函数2x>x，2x×3x=6x2，...。有>0及<0的对应法则吗？对应法则之间可有大小关系和可进行±×÷等运算吗？函数4x两倍于函数2x，谁见过有“法则a两倍于法则b”？可见对应法则与函数的区别是非常明显的。数与数之间才有距离关系。函数即变数y=f（x）→7可无穷逼近7而与7有距离关系。而函数关系、对应法则就不可逼近哪个数，因其不是变数从而与数之间没距离关系。世人多年不察说法b是赤裸裸错误，就如童话故事中大人们不察光身皇帝光身那样。不少书本有“函数有两要素：定义域与对应法则”——仅从此语就可一眼看出对应法则≠函数。
其实对应变数即函数y（不是函数关系）的图像是一维空间“管道”Y内的动点y而y=f(x)与x之间的对应（函数）关系的图像是平面上的曲（直）线，动点（x，y）不是函数动点y而是反映动点y与动点x之间函数关系的关系动点。两变数间的函数关系的图像表示法与函数（不是函数关系）的图像表示法，是有根本区别的。函数动点y=x的图像是沿y轴运动的动点y=x，其变域的图像是y=x轴，而函数关系y（x）=x的图像是斜率为1的直线y=x——形象直观显示x轴的动点x与y轴的动点y=x之间的对应关系的函数关系图。课本将函数关系与关系中的函数动点两者混为一谈,就使本来极其简单易懂的函数概念变得“函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一”（见网上章建跃文《函数概念的学与教》[2]）。函数可形象化为动点就能使学生对函数概念一看就懂。
      参考文献
[1]翟连林等，中学微积分问答[M]，北京：中国农业机械出版社：1982：6。
[2]www.pep.com.cn/gzsx/jszx_1/jxyj/llysj/201008/t20100826_763919.htm
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