★★ 林家翘教授谈应用数学 ★★

宋涛 · 发表于 2005-12-30 18:28:07

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林家翘教授谈应用数学系列
中国应用数学的研究还相当欠缺

　　数学的重要性不言而喻。纵观近代科学技术的发展，可以看到数学是使科学和技术取得重大进展的一个重要因素，它奠定了现代科学和高技术时代发展的基础。数学的研究分为两个方面，一是充实和扩展这个学科的核心领域，这是纯粹数学的工作；二是解决科学问题，或创造各种提出和解决问题的技巧与方法，这是应用数学以及统计学等的工作。20世纪的第二次世界大战引发的一系列科学和技术的竞争推动了应用数学的极大进展，人们在战后的年代里前所未有地感受到了数学的概念和数学方法的力量。但是，林家翘教授说在中国，应用数学领域的研究还相当欠缺。
　　林家翘先生认为这一现象存在的原因是，在中国应用数学往往被误认为是实用数学。应用数学是用数学的方式提出科学或工程学中的问题，并将这些问题归结或表示为能够运用计算手段处理的数学问题，这是学术的问题，因而也是科学的问题；而实用数学是用数学的方法帮助解决科学或工程学中的计算问题，这是服务性的，因而是实用的。在中国实用数学之所以被误认为是应用数学，这与新中国建国之初高等学校院系调整有关。当时中国向苏联学习，将所有的人才集中在一起，解决实际的问题，但不一定是学术的问题，因此逐渐远离了大学的主要职责。大学的主要职责应该是教育新的人才，促进学术发展。大学也有义务帮助国家、社会完成急需的工作，可是这不应是大学的主要任务，不能喧宾夺主。比如，美国麻省理工学院的林肯实验室是学院与政府订合
同替政府工作的，完全为政府服务，因此它也是政府机构，不属于学校本部，学院的教授也有些人在里面做顾问工作，但每周的工作时间大抵不超过一个工作日。
　　林家翘说，学术性的研究工作与由任务趋动的研究工作走的是两条路。学术的研究是为了长期前途的发展，是为未来，而任务推动型研究是为了解决当前的实际问题，满足现在的需要；学术型研究应当向国家自然科学基金委员会申请经费，而实用型研究应当由国家科学和技术部拨款。但是，因为实用型研究项目的经费多，容易产生误导。清华大学当年最大的损失是从全面型大学变为有任务的大学，替政府具体工作，因此有些该做的事就被耽误了。做政府的项目，规模大、钱多，但与教学的距离就远了。从历史的观点来看，当初国家正在建设，大家都在做与任务有关的事，与苏联是一样的，大学也得做建国方面的事。但是，现在已经走过了科学建国的阶段，是科学兴国的时候了，清华也要改回去，以学术研究和教学为主。
　　一个学科要健康地发展，还必须能吸引最聪明的学生到这一领域里来，从事这一学科的研究。林先生说，将实用数学误认为是应用数学，聪明的学生就认为做应用数学研究只是为了帮助其它学科的计算，因此，他就不会选择从事应用数学的研究，对应用数学事业来说这是很大的损失。林先生指出，中国的教育当年学苏联学错了一大步。苏联的模式是专业化太早，苏联的教育可以将工程学分为404门，这种做法是行不通的。专业化太早，学生的适应力就会太差，会做普通发动机的人不会做喷气式发动机。学生们学会了做什么，而不是学懂了做什么。专业分得太细，教师和学生的眼光都会变得太窄，将来只能做旧的东西，不敢做创新的东西，这是很不幸的事。
　　林先生认为，中国的教育经过了科学救国、科学建国的时期，现在才是科学兴国的时期，这是一个历史性的发展。过去的做法对将来不一定合适，20世纪的科学也与21世纪不一样，因此，必须有所改变，他说他回到清华是为了帮助清华大学走向世界一流大学，发展应用数学也是使中国科技有可能跻身世界一流水平的一条重要通道。

数学思维比数学运算更重要

　　数学的证明依靠严密的逻辑推理，一经证明就永远正确，所以，数学证明是绝对的。相对而言，科学的证明则依赖于观察、实验数据和理解力，科学理论的证明难以达到数学定理证明所具有的绝对程度，只能提出近似于真理的概念。因此，在思维严密的数学家眼里，物理学、化学、生物学、天文学等自然科学都是经验科学。林家翘先生说，应用数学家要将数学的严密和精确引入经验学科，将这些学科中的实验问题归结或表示为能够用运算手段处理的数学问题，从而促进经验科学的发展。
　　过去的经验告诉我们，所有的科学问题在本质上都是简单而有序的。物理学所有的定理都可以用数学公式在一张纸上表示出来，而与此同时，人类的智慧又坚持用简单的概念阐明科学的基本问题，这样做，数学就是一个基本的方法。
　　应用数学是利用数学的方法来发展经验科学的学科。应用数学始于经验性事实，止于对经验性事实进行规律性预测，这些规律还必须被其它的实验数据所证实。同时，用数学理论来发展经验科学往往又会向数学提出深刻的挑战，并对纯数学的研究启示新的方向。
　　近代应用数学发端于英国，牛顿是应用数学的鼻祖。为了解释观察到的大量天体运行的资料，解释天体运行的基本规律（开普勒三大定律），牛顿建立起天体运行的数学模型，提出了划时代的三大力学定律和万有引力定律。但是，力学定律的内涵超越了那个时代传统数学的范围，牛顿不得不开拓新的领域，发明了微积分，然后再用微积分、力学定律和万有引力，求得了行星运行的规律。在19世纪末的英国，所有的理论物理被称为应用数学。我在加州理工学院的博士导师冯·卡门也是一位应用数学的实践者和倡导者，他坚信自然界具有数学的本质，并用他毕生的经历从那些光凭经验无法澄清的混沌领域中寻求数学解答。冯·卡门的导师是德国哥丁根大学应用物理系主任、有"空气动力学之父"称号的普朗特尔教授，他最大的贡献是阐明了飞机为什么会飞。他的一个科学准则是"概括法"，即从一个复杂的物理过程中（无论是机器运行还是河水流动）概括出关键的物理因素，然后再用数学进行分析。
　　冯·诺依曼是20世纪最伟大的纯粹数学家和应用数学家，在他发表的150篇论文中，60篇研究的是纯粹数学，60篇研究的是应用数学，包括统计学和博弈论，那篇著名的会客室博弈论文就是他在20岁那年完成的。他和莫根施特恩合作的《博弈论与经济行为》在1944年出版，在这部著作中他们将数学科学的逻辑语言，尤其是集合论与组合数学方法，应用到社会理论的改革过程中，将经济学置于严谨的数学基础上。评论员赫维茨认为"只要再有10部这样的著作，经济学的未来就有保障了"。学生们将这本书称为"那部《圣经》"。冯·诺依曼勇敢无畏地走出数学领域，他应用相似的方法解决不同的问题的成功经历，激励着年轻的天才竞相仿效，约翰·福布斯·纳什就是其中一位。纳什证明的均衡定理推广了冯·诺依曼定理，成功地打开了将博弈论应用到经济学、政治学、社会学及至进化生物学的大门。纳什也因博弈论定理的证明获得了1994年的诺贝尔经济学奖。这是应用数学发展经济科学的最新例证。
　　二次世界大战极大地推动了应用数学的独立发展，取得了蔚为壮观的成就。这场战争引起了一系列科学和技术的竞争，并在战后的年代里，在航空航天、通讯、控制、管理、设计和试验等方面，让人们感受到数学崭新的力量。20世纪数学的成就，可归入数学史上最深刻的成就之列，应用数学和计算机科学成为科学技术取得重大进步的重要因素，它奠定了现代科学和工业技术时代发展的基础。
　　上帝造物都很简单，所有的问题都可以用数学公式来表达，这是应用数学家们的一个信仰。

应用数学与纯数学并不相互隶属

　　应用数学是不同于纯数学的一门独立的基础学科。在这个领域里，应用数学家们希望揭示出自然界和社会中所观察到的实际问题的规律，无论是探讨心脏中血液流动的情况，还是研究星系旋转的规律，他们都力图寻找出各种模型来描述它们，把它们联系起来，并从中作出各种推断。而纯数学家们则从数学本身的抽象问题中寻找定量及原理，并论证结果。因此，应用数学与纯数学是科学研究领域中两个很不相同的学科。二者有交叉，相辅相成，但并不互相隶属。经验科学是应用数学的核心，而逻辑架构是纯数学的核心，它们都从属于数学科学，它们的本质区别在于价值判断的标准不同，实验验证在应用数学起着举足轻重的作用。二者的共同之处在于应用数学家们也有兴趣发展新的数学，但这一兴趣更主要是由寻找并解决特定问题所驱动的。因此，看应用数学必须从两面看，一方面是科学性，一方面是数学性。要发展应用数学，数学家们应学很多科学，科学家们则应学很多数学，这样才能维持平衡，应用数学才能健康发展。
　　
　　应用数学也不同于经验科学，它们相同之处在于研究的动机和目的都是认识和理解科学事实和真实世界的各种现象，区别则在于经验科学的方法是观察和实验，应用数学的方法是数学模型和它的求解、求证。但二者都重视寻求简单的基本原理。在中国国内更严重的问题是没有重视应用数学与实用数学的区别。应用数学不等同于实用数学，实用数学的主要目的是满足社会上的需要，计算导弹的发射以及登月等，这是一种服务的性质，帮助解决服务对象提出的数学问题，它所注重的是数学的方法，注重方法的改进或提高；应用数学则注重的是主动提出研究对象中的科学问题，通过问题的解决加深对研究对象的认识，或创造出新的知识，它所注重的是用数学来解决科学问题。应用数学也应当为社会服务，但同时更重要的是要为科学本身服务，即服务于基础科学，又服务于应用科学，不断科学前沿的发展。如果要简单地在两者间划一条界线，则可如此说：做应用数学研究属于学术研究，应当向国家自然科学基金委员会申请经费，而做实用数学是由任务驱动性的，应当向国家科技部申请经费。
　　我们可以根据以上的讨论，作一个简单的结论：应用数学是一门独立的学科，它有自己研究问题的态度、方法和思维模式，也有自己的教育理念和方法。

应用数学的真谛在于"事实"

　　应用数学家究竟研究什么样的问题呢？我们可以用一个经典例子来解释。我们曾经说过牛顿是应用数学的鼻祖。为了解释观察到的天体运行资料，他根据开普勒的天体运行三大定律，以及他自己的三大力学定律，提出了划时代的万有引力定律。但是，这一推论所需要的数学，远远超出了当时传统数学的范围。因此，他发展出微积分来处理这一力学问题，才求出了行星和卫星运行的规律。他并对行星和卫星的运行作出推测，得到实证。从牛顿的工作中我们可以看出应用数学研究的五个步骤：
　
　　第一：收集经验数据。应用数学家们在自然界和社会中观察、实验，获得大量的资料，并加以整理。如天体运行的资料，到牛顿的时候已积累了不少，从托勒密、哥白尼、开普勒，到伽利略，已做了不少整理工作。牛顿本人也直接从事过天象观察，但这丰富、复杂的资料在显示什么呢？第二：寻找经验数据中的规律，即，要了解收集到的数据、资料的意义，掌握其中的规律。在上面所举的例子中，这是开普勒所做的工作。第三：建立数学模型。应用数学家根据这些资料，进行分析，创立适当的数学模型。在上述例中，这是牛顿的工作。在这种基础上，牛顿继续走了第四步：即发展数学理论。根据这些理论，可以用数学方法（包括求解）对科学课题作出预测。在此两点工作中，很有可能要创造新的数学。再以牛顿为例，为了结合开普勒的三大定律及牛顿的三大力学定律来作分析，所需要的数学，远远超越了传统数学的范围。因此牛顿不得不发展出崭新的领域，发展出微积分，来处理他的力学问题。第五：用经验资料验证数学模型。当用数学原理和工具解释了数学模型后，就要回到原来的实际问题去解释问题，如果模型与经验观察\数据不符合，就需要修改数学模型，或另起炉灶；如果数据模型得出结论与经验观察相符合，则可从中获得原始问题中事物的发展规律。这些规律还可提炼成普遍的规律，解释不同研究对象的问题。只有经过实验难，应用数学家们寻求的规律才能说明自然与社会的发展，并产生社会效果。牛顿就是用他发明的微积分，得出了最重要的万有引力定律，求得了行星运行的规律。
　　
　　从应用数学的研究过程，可以看出应用数学的真谛：从自然现象出发，回到自然现象，两端都是事实。
　　
　　应用数学的研究范围有哪些呢？林家翘认为应用数学的研究范围非常广泛，可以借用爱因斯坦的语言来这样描述应用数学："它的范围可定义为我们全部知识中能够用数学语言表达的那个部分。"这句话原来是用来定义物理学的，但根据文献资料，它的内涵清楚地包括了经济学、生物学等学科中的数学理论，因此这名话可能更适合于描述应用数学的范围。一个应用数学家的智慧在于他能够判断数学的方法在哪些科学问题上最有成效？而在哪些问题上的作用是有限的或无效的，然后再致力于将数学方法用在最有成效的科学问题上。
　　
　　在二次世界大战以前，应用数学的研究对象绝大部分与物理学有关。二次大战促成了高等数学在力学和其它工程方面的应用。在科学家的眼中，20世纪是物理学的世界，21世纪是生物学的世界，因此，21世纪应用数学家所面临的挑战是为生物科学建立数学理论。我现在用以研究蛋白质结构的数学理论就是海森堡50年前提出来的湍流理论。将数学应用到生物科学的研究具有长远的前途，充满了机会。我预期15年以后，这类研究的成果会成为生物学及应用数学两科中的主流，成为本科生教育的一个主要部分。
　　
　　我现在可以作这样一个预测：传统应用数学的经验可以在生物学的研究上发挥力量。

应用数学家的素质和培养

　　应用数学用数学的方法推动经验科学和工程学的发展，同时又不断刺激对新数学的需要，为纯数学提出新的问题。这就是应用数学的双重性。一个受到良好教育的应用数学家应该尊重应用数学的这种双重性精神，即要了解数学发展的全景，同时也要精通所研究学科的知识。但需要注意的是，在这种双重性的强调中，应用数学所强调的重点既不同于纯数学，也与经验科学不同。应用数学的通识（综合）教育还应该培养一种团队精神，如果缺乏这种精神，应用数学家们不可能保持一个健康的职业。
　　《论语》中说："学而不思则罔，思而不学则殆"，应用数学家的治学精神可用这句话来表明。如果只学习了数学的知识而不思考发挥知识的作用，就会产生迷茫；如果只思考如何解决实际问题却不学习知识，就会碰壁。中国古老的治学方法讲究"博大精深"。但中国现在时常发生的问题是精深有余，博大不足。把人的走向很早就定死，发展的空间就有限了。应用数学家们需要不断地学习新知识，学习研究的对象。如果要我在办公室里挂一个牌，我就会挂上"学无止境"这个牌。
　　
　　也许有人会问综合性教育是否有必要呢？我从自己的经历做出的回答是毫无疑问的"是。"那么，应该如何培养应用数学家呢？我认为所有的教育尤其是治学态度，都必须在大学本科阶段开始，这是青年学生的成长时期。要了解这一点，首先让我们来看看大学教育的目的。
　　大学教育的最终的目的是包括以下三个方面：一，培养一种态度、观点和价值判断能力；二，获得广泛的相互联系知识，这种知识是值得世代相传的，可以很好地理解，并在某一领域的特殊方面进行专门研究；三，发展某种才能，特别是在某一方面的创造力。这样培养出来的年轻人有可能获得某种智慧，使得他在今后的工作成为同事的顾问，更年轻一代的老师。
　　为了达到以上目的，大学应用数学的教学的课程应该包括如下内容：首先，培育学生对应用数学态度；其次，培养常用的工作能力，即培养应用数学的方法；第三，学科全貌介绍，即概述课程，让学生了解整个学科的全貌；第四，纯数学知识；第五，至少对科学学科的某一分支深入地了解。
　　研究生阶段的教育应该是以上基础课程的继续和扩展，同时还必须培养学生做研究的能力。
　　如果没有这些课程，那么我们培养的人才可能只是对应用偶尔有兴趣的纯数学家，或是高度专业化的应用数学家，他们在自己的专门领域里有相当强的数学能力。这些人对应用数学会有贡献，但这对应用数学事业的健康发展是不够的，其中一个主要的欠缺就是不能适应实证科学的新发展。因此，我们应当大量普及应用数学的综合课程，吸引大批有事业心、有才华的年轻人走到这个领域里来，并向他们展示这是一个充满机会、有前途的学术职业。最后一点是应用数学成功发展的最重要因素。是否有能力推动这个学科的健康发展是对应用数学家的判断的重要标准，他们也必须有机会教育未来的专业人士。

宋涛 · 发表于 2005-12-30 18:36:55

名家档案

应用数学大师——林家翘

央视国际 2005年04月26日 16:51
　　
　　解说：在清华校园的中心地带，有三栋新建的白色小别墅紧紧地挨在一起，这里就是清华著名的大师别墅，现在，别墅里分别居住着是国际应用数学大师林家翘、诺贝尔物理学奖获得者杨振宁和著名国际计算机学家姚期智。我们《大家》栏目从2003年开始，就联系他们之中林家翘先生的采访，林老在海外身为美国科学院院士、麻省理工学院的资深教授，在国内，他又是中科院外籍院士、清华园聘请归国的科学大师。但虽然拥有如此多的科学光环，林老却从不接受媒体采访，他说，总感觉自己没有什么可说的。今年88岁的林老这次走进我们《大家》栏目，是他首次接受电视媒体专访。回到清华居住两年多，他发现了国内大学的教育和科研现状存在很多致命的问题，这些促使他愿意站出来说说话，作为当今应用数学领域首屈一指的大师，林家翘原来工作的麻省理工学院应用数学系，一直是处于全球领先位置，而他本人在海外也是桃李满天下，但是重回清华，林老却发现在这所国内一流学府，他应用数学的专业竟找不到合适的学生。

　　林家翘：是是，那是绝对是要的，所以以后人教，这边不是用英文来教生物学吗？我觉得这很好，所以这有人反对，这不公平，我们英文不好的人就不能学了。
　　主持人：那您觉得呢？
　　林家翘：这没法解决，文献你就不能读，或者读了以后，一查字典，读得莫名其妙。
　　主持人：您在MIT的时候，也会有不少的中国学生。
　　林家翘：有。
　　主持人：这些中国学生在国外上学，读大学，您去跟国外的这些学生做比较，当他们走到一块的时候，特别是到您的研究中心做研究的时候，您会发现他们的差距是什么？
　　林家翘：差距就是独立研究的能力不好。
　　主持人：您指中国学生？
　　林家翘：中国学生。在国外，大学毕业不叫毕业，叫“始业”，（英文），就是你开始做别的事情了。所以它这个教育绝没有说到这个时候，就画一个道了。然后呢，就停住了，这个是，中国的教学制度，就很有这个趋向。很多人都觉得，大学毕业或者博士毕业以后，就毕业了，就不学了，这是最大一个错误。

(编辑：兰华　来源：CCTV.com)
来源：http://www.cctv.com/education/20050426/101742.shtml

宋涛 · 发表于 2005-12-31 00:03:17

林家翘教授个人简介
　　林家翘，１９１６年７月７日生于北京，原籍福建省福州市。１９３７年毕业于清华大学物理系，随即留校担任助教。１９４０年赴加拿大多伦多大学深造，１９４１年获多伦多大学硕士学位，１９４４年获美国加州理工学院博士学位。从１９４７年起，历任麻省理工学院副教授、数学教授、学院教授、荣誉退休教授。自１９５１年起成为美国国家艺术和科学院院士，１９６２年起成为美国国家科学院院士。１９９４年当选为中国科学院外籍院士，1979年被清华大学聘为名誉教授，１９８７年清华大学授予他名誉博士学位，２００１年１１月被聘为清华大学教授。
　　林家翘教授是国际公认的力学和应用数学权威。从４０年代开始，他在流体力学的流动稳定性和湍流理论方面的工作带动了一代人的研究和探索。他用渐近方法求解了Ｏｒｒ－Ｓｏｍｍｅｒｆｅｌｄ方程，发展了平行流动稳定性理论，确认流动失稳是引发湍流的机理，所得结果为实验所证实。他和冯·卡门一起提出了各向同性湍流的湍谱理论，发展了冯·卡门的相似性理论，成为早期湍流统计理论的主要学派。从６０年代起，他进入天体物理的研究领域，创立了星系螺旋结构的密度波理论，成功地解释了盘状星系螺旋结构的主要特征，确认所观察到的旋臂是波而不是物质臂，克服了困扰天文界数十年的“缠卷疑难”，并进而发展了星系旋臂长期维持的动力学理论。在应用数学方面，他的贡献是多方面的，在数学理论方面，他也有些贡献，其中最突出的是他证明了一类微分方程中的存在定理，用来彻底解决海森伯格论文中所引起的长期争议（参看科学花絮）。他是当代应用数学学派的领路人。
林家翘教授对中国科技事业十分关心。他本人自１９７２年以来曾多次回国作学术访问，邀请众多美国知名专家来华讲学，接受多位学者去美国麻省理工学院深造，为国内培养了一批有造诣的学者，推动了应用数学与流体力学的许多新领域在中国的发展，为中国科技事业的发展做出了突出的贡献。
林家翘教授曾担任美国数学会应用数学委员会主席、工业和应用数学协会主席。他曾获得美国机械工程师学会Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ奖，美国国家科学院应用数学和数值分析奖，美国物理学会流体力学奖。

afei2002 · 发表于 2006-1-4 08:46:39

好东西，应该开一个名家、大家栏目，好好介绍一下……
学会看问题、作问题……

宋涛 · 发表于 2006-1-27 17:33:07

[这个贴子最后由宋涛在 2006/01/27 05:40pm 第 1 次编辑]

转贴一下，读了感到太有感触了，特别是最后的一句名言！

В. И. Арнольд论数学教育I
地点： Palais de Découverte in Paris
时间 1997年3月7日.
数学是物理的一部分。物理学是一门实验科学，它是自然科学的一部分。而数学是物理学中只需要花费较少的代价进行实验的那一部分。例如 Jacobi 恒等式（保证三角形三条高交于一点）就是一个实验事实，正如同地球是圆的（即同胚于球体）这样的事实一样。但是发现前者却要比发现后者需要较少的代价。
在20世纪中叶，人们试图严格地区分物理与数学。其造成地后果是灾难性的。整整一代的数学家在对他们所从事的科学的另一半及其无知的情况下成长，当然，对其他的科学就更无知了。这些人又开始把他们的丑陋的学院式的伪数学教给他们的学生，接着这些丑陋的伪数学又被交给中小学校里的孩子们（他们完全忘记了Hardy的警告：丑陋的数学在阳光下不可能总有藏身之处）。
既然那些从物理学中人为挖出来的学院式的数学既无益于教学，又对其他的科学毫无用处，结果可以想见，全世界的人都讨厌数学家（甚至包括那些被他们教出来的可怜的学校里的孩子们以及那些运用这些丑陋数学的人）。这些先天不足的数学家被他们所患的低能症候群折腾的筋疲力尽，他们无能对物理学有个起码的了解。令人们记忆犹新的由他们建造的一个丑陋建筑物就是“奇数的严格公理化理论”。
很显然，完全可能创造这样一种理论，使得幼稚的小学生们敬畏它的完美及其内部构造的和谐（例如，这种理论定义了奇数个项的和以及任意个因子的乘积）。从这种偏执狭隘的观点来看，偶数或者被认为是一类“异端”，或者随着时间流逝，被用来作为该理论中几个“理想”对象的补充（为了遵从物理与真实世界的需要）。很不幸的是，这种理论只是数学中一个丑陋而变态的构造，但却统治了我们的数学教育数十年。它首先源自于法国，这股歪风很快传播到对数学基础的教学里，先是毒害大学生，接着中小学生也难免此灾（而灾区最先是法国，接着是其他国家，包括俄罗斯）。
如果你问一个法国的小学生：“2＋3等于几？”，他（她）会这样回答：“等于3＋2，因为加法运算是可交换的”。他（她）根本不知道这个和等于几，甚至根本不能理解你在问他（她）什么！
还有的法国小学生会这样定义数学（至少我认为很有可能）：“存在一个正方形，但还没有被证明”。
据我在法国教学的经验，大学里的学生对数学的认识与这些小学生也差不多（甚至包括那些在';高等师范学校';（ENS）里学习数学的学生－－我为这些显然很聪明但却被毒害颇深的孩子们感到极度的惋惜）。
例如，这些学生从未见过一个抛物面，而且一个这样的问题：描述由方程xy=z^2所给出的曲面的形状，就能使那些在ENS中研究的数学家们发呆半天；而如下问题：画出平面上由参数方程（例如x = t^3 - 3t, y = t^4 - 2t^2）给出的曲线，对学生来说是不可能完成的（甚至对大多数法国的数学教授也一样）。从微积分的入门教科书直到Goursat写的课本，解这些问题的能力都被认为是每个数学家应具备的基本技能。
那些喜欢挑战大脑的所谓“抽象数学”的狂热者们，把所有在数学中能与物理和现实经常发生联系的几何统统排除在教学之外。由Goursat, Hermite, Picard等人写的微积分教程被认为是有害的，最近差点被巴黎第6和第7大学的图书馆当垃圾丢掉，只是在我的干预下才得以保存。
ENS的听完所有微分几何与代数几何课程的学生（分别被不同的数学家教的），却既不熟悉由椭圆曲线 y^2 = x^3 + ax + b 决定的黎曼曲面，也不知道曲面的拓扑分类（更别提第一类椭圆积分和椭圆曲线的群性质了，即 Euler-Abel 加法定理）。他们仅仅学到了Hodge 构造以及 Jacobi 簇！
这样的现象竟然会在法国出现！这个国家可是为整个世界贡献了诸如Lagrange ，Laplace, Cauchy 以及 Poincaré, Leray 还有 Thom 这些顶级的伟大人物啊！对我而言，一个合理的解释来自 I.G.Petrovskii, 他在1966年曾教导过我:真正的数学家决不会拉帮结派，只有弱者为了生存才会加入帮派。他们可以联结很多的方面（可能会是超级的抽象，反犹太主义或者“应用的和工业上的”问题），但其本质总是为了解决社会生存问题。我在此向大家顺便提一下 L. Pasteur 的忠告：从来没有也决不会有任何所谓的“应用科学”，而仅仅有的是科学的应用！

lovellhe1 · 发表于 2006-11-2 17:52:56

楼上的引文没怎么看懂，数学非和物理绞在一起吗？
工、理、文等能包容在一起吗？
想一想，楼主的引文说的问题，很让人头痛！
我觉得我是国内教育的受害者，可是没办法，是又来拯救后来人呢？！

januar · 发表于 2009-6-15 22:35:16

怎么界定应用和科学很有意思

通流 · 发表于 2010-11-12 22:58:30

其实没有必要界定。很多都是个人爱好。如钱学森，林家翘都是冯卡门的学生。一个成了火箭专家，搞实际的东西，一个搞理论，成了应用数学家。没有人说钱学森的数学水平不如林家翘。其实钱学森在他的那批同学中，是出了名的数学好。

uesoft · 发表于 2010-11-13 09:16:09

首先声明，以下纯属个人瞎侃，而且对以下的术语：数学和科学没有明确的定义。
1，数学是为科学服务的，科学则借助数学描述宇宙规律
2，所有的数学和科学都是为人类服务而诞生的，都是为了更好地延续智能生命的存在
3，为了延续智能生命，需要利用各种科学了解高效利用质量、能量的规律，开发科学、公平、高效的人类社会管理系统，和谐发展生态系统，了解地球和太阳系、星系的生命周期，以及宇宙发展的规律，从而为人类的万寿无疆寻找途径。

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