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发表于 2014-9-13 13:23:20
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对下一个帖子的补充说明来介绍特征线的一些物理意义：
[讨论]伯努利方程是能量方程还是动量方程？[6楼]
http://www.cfluid.com/bbs/viewthread.php?tid=114265
原帖由 coolboy 于 2012-4-1 13:06 发表
......流体块在沿着由此速度场确定的轨迹流动时，其所对应的（原偏微分方程中的）u是一个常数。此流体轨 迹在数学上也称为“特征线”，在伯努利方程推导中常称“沿流线积分”就是“沿特征线积分”。所谓“沿流线积分”其实也就是求解上述的5个常微分方程组。
注一：求解常微分方程所得的积分常数是真正的常数。另一方面，即使有时偏微分方程能简化为直接可积的形式（如@B/@x=C），由于其“积分常数”实际上是其它自变量的任意函数，其意义也不是很大。
注二：只要描述某过程的方程能写成如下形式：@u/@t+B(@u/@x)+C(@u/@y)+D(@u/@z)=0，我们就可认为它的物理意义就是该物理量沿着速度场（B,C,D）的变化是守恒的。例如，若u所对应的是波动力学中的波包能量（或波作用量等），则方程中的（B,C,D）所对应的就是波动传播的群速度。若有人问，什么叫群速度？为什么波动能量按群速度而不是按相速度传播？一个比较高级的答案就是：出现在波动能量方程中（B,C,D）的那些位置的量刚好是波的群速度，或即那些群速度的表达式刚好出现在（B,C,D）的位置上了。
这次就想了、写了这么多。以后若还有新想到的，就再补充说明。
补充说明：
数学是对一般自然、物理过程的抽象描述。若要了解或解释某一数学方程或概念的物理意义，则显然我们也必须从具体的物理学例子入手。在这个帖子中所涉及的一阶偏微分方程含有一个因变量（u），一个时间自变量（t），三个空间自变量（x,y,z）。方程的具体形式是：
@u/@t+B(@u/@x)+C(@u/@y)+D(@u/@z)=f [1]
其中右端项（f）表示“外源”作用。所涉及的数学求解方法及概念是对上方程[1]沿特征线积分。所提到的具体物理学例子有两个：物理学例子I是（一般）流体力学中单位质量总能量的演变方程。物理学例子II则是流体（频散）波动学（dispersive waves）中单位频率波包能量的演变方程。现对此两物理学例子与上述一阶偏微分方程求解及概念的相关部分的异同点作一对比说明：
（1）两个方程都是能量（密度）方程。例子I中的待解物理量（u）是流体单位质量的总能量，其内容包括机械能、热能、电磁能、等等。例子II中的待解物理量（u）是波包单位频率的能量（也称作为“波作用量”），其值正比于波动的振幅平方。
（2）两方程中在空间偏导数项之前的系数都形成了既有大小又有方向的矢量。例子I中的矢量（B,C,D）对应于流体流动的速度场（U,V,W）。例子II中的矢量（B,C,D）对应于波包能量传播的“群速度”（C_gx,C_gy,C_gz）。
（3）矢量除了既有大小又有方向之外也还必须满足矢量的运算法则。流体的速度是一个矢量，流体的温度（T或压强p）则仅仅是一个标量。尽管在一些特殊情况下，某些流体在空间任意点处不同方向具有不同的温度（本论坛以前曾有帖子讨论过此事），但由于它并不满足矢量运算法则，温度并不是一个矢量。从这一点来说流体的温度与速度具有不同的物理属性。类似地，波的群速度是一个矢量，波的相速度则仅仅是一个标量。尽管人们也常常给出不同方向的波动的相速度分量，但由于它并不满足矢量运算法则，相速度并不是一个矢量。从这一点来说波的相速度与群速度具有不同的物理属性。标量相速度常常对应于波动系统的本征值，但矢量群速度并不与什么本征矢量有直接联系。
（4）尽管两个例子中的方程都是能量方程，但例子I中的能量是流体的总能量，对应于例子I的方程[1]是从流体力学的原始（基本）方程组推导出来的。例子II中的能量则仅仅是流体的扰动能量，对应于例子II的方程[1]是从线性化了的扰动方程组推导出来的。
（5）对于例子I中的能量方程求解一般也称作为“对能量方程沿流线积分”。若右端外源项（f）为零，则我们就说总能量沿流线是一常数，所得积分常数方程（u=u0，沿流线）就是伯努利方程。对速度矢量场（U,V,W）积分所得的轨迹就是特征线。对于例子II中的波包能量方程求解一般称之为“射线追踪”（Ray tracing）。对群速度矢量场（C_gx,C_gy,C_gz）积分所得的轨迹就是特征线，即对应于波包传播的轨迹，也称射线（Rays）。
（6）一般在推导总能量方程和波包能量方程时，各物理量的定义及特性都已十分清楚。例如，流体速度场（U,V,W）是位置随时间的变化率，而位置变量是一个矢量，从而速度场是一个矢量。波包群速度场（C_gx,C_gy,C_gz）也是一个矢量，这是因为它是某一标量场的梯度。假如我们一开始并不知道这些定义及它们的物理意义，但我们推出了相应的能量方程具有上述偏微分方程[1]的形式，则我们也可以从数学求解这一偏微分方程所必须经历的“特征线”方法而反推出那三项偏导数之前的系数（B,C,D）必然构成了类似于流体速度场的矢量场的这一基本的物理意义。
（7）我们现在从所求得的那些特征线中不妨取出一根来考察一下。我们假设特征线与始边界和终边界分别相交于N点和P点。那么在该特征线上N点和P点中间的O点就应该具有如下的特性：在O点的函数值u只取决于N点与O点之间区域内的函数值（依赖域）。函数在O点的取值只对O点与P点之间区域内的函数值的决定或变化有作用（影响域）。此时，我们还没有考虑时间的因素。对于有限的速度值（B,C,D），信息（即能量值）从特征线上一点流（传）至另一点是需要一定的时间间隔的。时间间隔越长，则所对应的依赖域或影响域的范围也就越大。当然，所有这些叙述都是基于速度场是从始边界指向终边界的。
（8）我们现在来想象、考察一下一簇（许多许多根）特征线从始边界的边界面上冒出来。每一根特征线上的函数值都首先由始边界上的值所确定，其后再沿着各自的特征线在流动或传播过程中被修正。这里很重要的一点就是相邻特征线上的函数值并不存在任何相互作用。假如始边界上的u分布（或即这里的能量分布）是不光滑甚至是不连续的，则由于相邻特征线上的函数值缺乏相互作用，这种边界上不光滑或不连续的特性也会顺着特征线簇一直传播下去。所谓“弱间断沿特征线传播”也就是（数学上严格）证明了边界上的u分布导数不连续的特性会沿着特征线传播。
（#）...... 应该还有许多。欢迎大家一起继续挖掘、探讨。
对于多个因变量的一阶偏微分方程组，其处理方法及物理意义的理解也是从把它们简化为单个因变量的一阶偏微分方程入手。推荐一下流体波动两本比较好的经典参考书：
Lighthill, M. J., 1978: Waves in Fluids. Cambridge University Press, London and New York, 504 pp.
Whitham, G. B., 1974: Linear and Nonlinear Waves. Wiley (Interscience), New York, 636 pp.
Whitham的书对可压缩流体的介绍要更详细一点。
[ 本帖最后由 coolboy 于 2014-9-15 10:24 编辑 ] |
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发表于 2014-9-12 12:18:20
