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发表于 2014-2-10 20:42:00
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关于这个问题再唠叨两句！
原帖由 通流 于 2014-2-6 00:43 发表
第二点的结论是很有教育意义的。
对于第三点，我是对于这套所谓的什么独立性的玩意不太感冒。这里的雷诺数比较低，事情还比较简单。对于高雷诺数的问题，加密网格以及减小时间步，这时带来的问题基本不可预料。
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1. 关于“在非定常N-S方程求解器里面使用大时间步，得到的结果和求解定常N-S的结果一致。”，我的观点是大时间步长的非定常过程，时间精度损失为一阶。定常结果与时间无关，上述表述欠准确，表述应该修改为“在非定常N-S方程求解器里面使用大时间步时，非定常算法退化为采用时间推进的定常算法”。因为对于时间推进（或者时间松弛）的定常算法通常只保留时间的一阶精度。事实上，由
\partial f/\partial t=g(f,t)
对于非定常计算，两边对时间积分，得到：
f^{n+1}=f^n+Integer（g(f^n,ndt)）
对于非定常计算，时间精度一般要求至少二阶，因此右端积分采用梯形公式近似，有：
f^{n+1}=f^n+0.5*dt*(g(f^n,ndt)+g(f^n,(n+1)dt)）+O（dt^2）
将g(f^n,(n+1)dt)）进行泰勒展开并线化，有：
g(f^n,(n+1)dt)=g(f^n,ndt)+(dg(f^n)/dt）*dt+O（dt）
从而有：
f^{n+1}=f^n+dt*g(f^n,ndt)+0.5*(dg(f^n)/dt）*dt*dt+O（dt^2）
如果dt非常大，上述格式退化为一阶：
f^{n+1}=f^n+dt*g(f^n,ndt)+O（dt）
从而退化为间推进的定常算法。也就是说非定常计算的时间不长不是由稳定性决定的，而是由流动物理固有的时间尺度去确定！
2. 对于通流：“对于第三点，我是对于这套所谓的什么独立性的玩意不太感冒。这里的雷诺数比较低，事情还比较简单。对于高雷诺数的问题，加密网格以及减小时间步，这时带来的问题基本不可预料。当然，这里还有一个很重要的事实。这个大时间步长的结果也是NS方程的解。只是这个解是不稳定的。对于绝大多数稳定性问题，分析的起点都是不稳定的定常解。这是从另一个角度对那些什么独立性的一个否定。独立性担心的是由于网格和时间步长造成解的不精确。现在的例子证明，大时间步和小时间步给出的是两个不一样的，但都是NS方程的解。”
“对于高雷诺数的问题，加密网格以及减小时间步，这时带来的问题基本不可预料。” 请教一下为什么？
“这个大时间步长的结果也是NS方程的解。只是这个解是不稳定的，”请教一下为什么？
关于网格收敛性，时间步长的收敛性也叫网格独立性和时间步长独立性，我觉得本身是没有问题，取决于你对解的要求。如果你要得到benchmark解，网格独立性和时间步长独立性应该而且必须做！如果你只要求一个趋势或者一个结论，大可不必如此大费周章！
另外，关于非定常采用大时间步长的问题，在Anderson的《computational fluid dynamics：the basics with applications》一书中讨论Crank-Nicolson格式（P434）的时候讨论了。 |
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