【讨论】流体力学精确解及其方法

onesupeng

大家都知道一般N-S方程为非线性方程，加上不规则边界，寻找N-S方程通解目前不可能。不过，人们在长期的研究中，发现N-S方程在特殊情况下存在精确解，这些工作在数学意义上、认识一些流动物理机理上以及校验数值方法等方面，曾经、正在和将来发挥着重要作用。

我开这一个讨论，是想大家就自己学习、研究和所读的文献总结一下，哪些情况下或者哪些问题存在精确解，用什么方法能够求解等。

我抛砖引玉，说一些问题：
1、势流解：势流问题是一大类线化流动问题，一般采用复变函数和保角变换等手段求解。典型的问题如圆柱绕流、平板绕流等。
2、定常平行剪切流：如平板Couette流动、平面Poiseuille流动、Hagen-Poiseuille等。这类用一般的常微分方法求解。
3、非定常剪切流动：如Stokes第一问题、第二问题、管流/槽道启动流，这类问题一般使用数理方法里面的分离变量方法和级数展开、积分叠加等的思想。其中，Stokes第二问题中，是假定振动平板经过很长时间以后的周期解，我采用积分叠加的办法，把其启动状态也能解析给出。
4、圆对称平面流动：如圆柱Couette流/启动流、无限长涡丝扩散等，也使用分离变量和叠加的思想。
5、低Reynolds数方法：如圆柱、圆球绕流的Stokes/Oseen解，小幅振动圆球等，一般也使用分离变量和叠加的思想。
6、其他线化解：如无穷长二维平板行波振动（小幅）解析解（低Re，有限Re和无粘都容易找到），三维无穷长平板小幅振动，包括行波和扭转振动等。
7、非线性粘性流：如二维驻点流、旋转圆盘等。对于简单的构型，可利用所谓的“同伦摄动法”进行求解，这个方法是个新名词，不过，据我查这个方法，和一般的牛顿迭代之类的如出一则，大同小异。

通流

“发挥着重要作用”。说实话，我是不理解，这到底有什么作用？能不能举几个例子啊？
你上面那些东西，都已经不少年了。容易的都做了。也许还有，不过，有点可与不可求的感觉。
对小扰动等，我觉得也不能算精确解。小扰动更是有限扰动的一个近似。这本质上跟数值解有什么区别呢？数值方法也可以看成局部线性化的结果。
我这不是什么结论。只是到目前为止，我不太理解现在人们找精确解的目的。总觉得，这有点太数学，有点在自己的象牙塔里做学问。

ustcsunl

原帖由 onesupeng 于 2012-5-20 02:23 发表

                               
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大家都知道一般N-S方程为非线性方程，加上不规则边界，寻找N-S方程通解目前不可能。不过，人们在长期的研究中，发现N-S方程在特殊情况下存在精确解，这些工作在数学意义上、认识一些流动物理机理上以及校验数值方法等 ...

抛玉引砖,何苦呢.

onesupeng

原帖由 通流 于 2012-5-20 03:21 发表

                               
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“发挥着重要作用”。说实话，我是不理解，这到底有什么作用？能不能举几个例子啊？
你上面那些东西，都已经不少年了。容易的都做了。也许还有，不过，有点可与不可求的感觉。
对小扰动等，我觉得也不能算精确解。 ...

儒可夫斯基翼型算不算？前两天你教导我用的Taylor的工作算不算？

另外，在验证数值方法上的作用算不算？不用我举例了吧？

[ 本帖最后由 onesupeng 于 2012-5-20 04:50 编辑 ]

onesupeng

原帖由 ustcsunl 于 2012-5-20 03:44 发表

                               
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抛玉引砖,何苦呢.

大哥，对不起，没有把你的精确解列进来~

你加进后面不就等于引一把玉了吗

后来我想了一下，考你一个问题：Stokes第二问题，考虑初始条件的影响。

[ 本帖最后由 onesupeng 于 2012-5-20 04:52 编辑 ]

通流

我想你感兴趣的应该是一些经过简化后的解析解和近似解。这个过程的难点应该是如何简化物理过程，以及通过精确解，近似解，来了解流动的现象的特征。如果，你能够找到精确解，那当然好。不过这里除了人的功底外，也和运气有点关系。这大概是我说的“可遇不可求"。

对于，绝大部分问题，即使没有精确解或者近似解，流动特征也可以根据量纲，局部近似，以及数值方法，也包括实验，来搞清楚。我并没有反对精确解的意思。我想，即使精确解，也是要说明这个解更实际流动到底有什么关系。或者精确解到底对帮助我们理解流动有什么帮助。

flowinflow

原帖由 onesupeng 于 2012-5-20 10:23 发表

                               
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大家都知道一般N-S方程为非线性方程，加上不规则边界，寻找N-S方程通解目前不可能。不过，人们在长期的研究中，发现N-S方程在特殊情况下存在精确解，这些工作在数学意义上、认识一些流动物理机理上以及校验数值方法等 ...

已经有人早把所以的解析解罗列和统计过了，沿这篇review能找出好多老的reivew

flowinflow

原帖由 onesupeng 于 2012-5-20 10:23 发表

                               
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大家都知道一般N-S方程为非线性方程，加上不规则边界，寻找N-S方程通解目前不可能。不过，人们在长期的研究中，发现N-S方程在特殊情况下存在精确解，这些工作在数学意义上、认识一些流动物理机理上以及校验数值方法等 ...

已经有人早把所以的解析解罗列和统计过了，沿这篇review能找出好多老的reivew

onesupeng

谢谢楼上，这个主要是定常部分的review。

uesoft

我是越来越佩服通流老师的洞察力了。

uesoft

我觉得，在实际的工程或科学研究中，如果CFD很难搞，而自己数学很好，这时候搞一点解析解是可以的。如果，企图翻遍科学家的书橱，看看哪里遗漏了什么，会不会捡到点什么宝贝，的确是有点象牙塔研究的风格。
我们知道，物理模型就是一个数学方程，一般是些常微分或偏微分方程(组)。在没有计算机的时代，依靠数学家或科学家的大脑，把这些方程转换成了一个更容易求解的方程，一般是一个显函数，提高了计算速度，这就是那个时代的所谓解析解。所有的解析解，最终都要转换成级数求和的形式，通过CPU的累加器，求一个和出来，无论人脑或电脑都是这样处理的。
现代的CFD，只要设置边界条件和初始条件，划分网格，电脑即可自动求解。
现在CFD要解决的，是自动划分网格，这个都是有理论规则的，比如通流举出的房间找钱包与步长关系的例子，就是网格的稳定理论之一。自动划分网格，应该是可以实现的，这些才是今天要研究的课题之一。还有机理研究，比如紊流、流固耦合等，搞一点解析解可能还是必要的，或者更准确的说，搞一个流固耦合的微分方程(组)模型而不是解析解是很有必要的。

uesoft

至于说用解析解验证CFD模型，我觉得没有必要。CFD要依靠下面的流程进行验证才是可靠的，以下是CFD验证步骤：
1，科学界应保证流体力学方程组是正确的。
2，软件公司把流体力学方程组转换成了正确的代码，网格要自动划分并保证不出错误。这一步实现依靠软件公司的QC质量保证系统如三级校审来实现：开发者认真细心，评审者仔细，测试者全代码覆盖测试以及自动化测试等。
3，用户要正确设置边界条件和初始条件、模型、网格。这一步要依靠公司的QC质量保证系统如三级校审来实现。
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依靠发明解析解去验证CFD没有必要，也很难对得上。用实验去对比CFD结果精确得多。

hawking2006

哪位老师能不能讲讲“不确定性”和“精确解”之间的关系吗？
我的意思的，无论定常或者非定常问题，流动是否都是是“确定的”？
“确定的”或者“不确定”跟“有木有解析解”是什么关系？

uesoft

我的看法如下，不当之处，请批评：
1，所谓无解，是指方程组内的方程是矛盾的，因而无法得到解。
2，所谓解析解，是指方程可变换为显函数的形式，一般是初等函数的显函数形式。如果不能变换为初等函数的显函数，就称没有解析解。
3，不理解你的“确定的”或者“不确定”含义是什么。我觉得定常是不可能的，而非定常才是必然的流动状态，所谓定常是非定常的一种简化和近似状态。

uesoft

考虑到onesupeng在论坛的江湖地位和强大影响力，不妨借一点光，请大家看看，呵呵：

粒子模型：(为方便，以下用微分符号d代表偏微分符号lang)
1，万有引力模型是唯一正确的物理模型，公式为：F=G*M*m/r^2，或用方程表示：d2r/dt2+G*M/r^2=0。
2，库伦定律E=k*q1*q2/r^2是错误的，不存在q1、q2这样的电荷，它们实际代表的是粒子质量，正负电荷实际表示的是粒子运动速度方向。库伦定律应该用万有引力定律取代，电场、电荷都是不存在的，只存在引力和质量。库伦常数k也是不存在的，只存在万有引力常数G。库伦错误的原因可能是：
2.1，把表面质量看成了电荷。
2.2，忽略了引力场对电荷球面的作用。
2.3，其他错误。
如果把库伦定律修正为万有引力定律，经典牛顿力学与麦克斯韦电磁方程组的矛盾将迎刃而解，洛伦兹变换和相对论都可以取消了。
3，电子是不带电的粒子，由大质量的电子核和围绕电子核高速旋转的光子构成。
4，质子是不带电的粒子，由大质量的质子核和围绕质子核高速旋转的电子构成。
5，中子也是质子，但围绕中子旋转的电子在很小的半径内旋转，电子很难逃逸，以致在电磁场中中子不改变轨迹。
6，质子核也是由大质量的电子核和围绕电子核高速旋转的光子构成。
7，光子由大质量的光子核和围绕光子核高速旋转的中微子构成。
8，不存在电荷概念，所有的物理现象都是由粒子旋转和碰撞引起的。
9，只存在能量守恒、动量守恒、质量守恒定律和万有引力定律。

以上不当之处，请批评指正。
http://www.cfluid.com/bbs/viewthread.php?tid=115067